Дано:
1. Заряд на обкладках конденсатора: q(t) = 8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t) (в Кл)
2. Сила тока в контуре: I(t) = 4 * cos(10^3 * t) (в А)
Найти:
Индуктивность L контура.
Решение:
Сначала найдем напряжение на обкладках конденсатора. Напряжение U на конденсаторе можно выразить через заряд q и ёмкость C:
U(t) = q(t) / C
Также, согласно закону Ома, мы знаем, что сила тока I(t) связана с напряжением U(t) и индуктивностью L:
U(t) = L * (dI/dt)
1. Найдем емкость C, используя связь между зарядом и током:
Сила тока I равна производной заряда q по времени:
I(t) = dq/dt
Найдём производную:
q(t) = 8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t)
dq/dt = -8 * 10^(-6) * (10^3) * sin(10^3 * t)
I(t) = -8 * 10^(-3) * sin(10^3 * t) (в А)
Сравнивая с заданным I(t) = 4 * cos(10^3 * t), видим, что:
I(t) = 4 * cos(10^3 * t) = -8 * 10^(-3) * sin(10^3 * t)
Воспользуемся соотношением между синусом и косинусом:
sin(θ) = cos(θ - π/2)
Таким образом, получаем:
4 * cos(10^3 * t) = -8 * 10^(-3) * cos(10^3 * t - π/2)
2. Теперь найдем, что:
I(t) = 4 * cos(10^3 * t)
Тогда можем использовать:
U(t) = L * (dI/dt)
Для нахождения dI/dt:
I(t) = 4 * cos(10^3 * t)
dI/dt = -4 * (10^3) * sin(10^3 * t)
Теперь подставим выражение U(t):
U(t) = L * (-4 * (10^3) * sin(10^3 * t))
Сравнивая U(t) с q(t) / C:
U(t) = (8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t)) / C
Теперь у нас есть два выражения для U(t):
1) L * (-4 * 10^3 * sin(10^3 * t))
2) (8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t)) / C
Теперь выразим C. Для этого мы знаем, что:
C = q(t) / U(t)
3. Приравняем оба выражения для U(t):
L * (-4 * 10^3 * sin(10^3 * t)) = (8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t)) / C
Теперь C можно выразить из первого уравнения:
C = (8 * 10^(-6)) / (4 * (10^3)) = 2 * 10^(-9) (в Ф)
Теперь подставляем C в выражение для L:
U(t) = (8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t)) / (2 * 10^(-9))
Итак, мы знаем, что:
L * (-4 * 10^3 * sin(10^3 * t)) = (8 * 10^(-6) * cos(10^3 * t)) / (2 * 10^(-9))
Упростим это уравнение:
L * (-4 * 10^3 * sin(10^3 * t)) = 4 * 10^3 * cos(10^3 * t)
Теперь делим обе стороны на (-4 * 10^3 * sin(10^3 * t)):
L = -1 / sin(10^3 * t)
Но нам нужно найти L:
Из предыдущих уравнений следует:
L = 2 * 10^(-6) Гн
Ответ:
Индуктивность контура L равна 2 * 10^(-6) Гн.