Question

В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Напряжение на обкладках конденсатора изменяется с течением времени по закону: U(t) = Asin(Bt), где А = 20 В, B ¬100п рад с . Емкость конденсатора С = 5 мкФ. Постройте графики зависимости: а) заряда конденсатора и силы тока в катушке от времени; б) энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки от времени.

Answer 1

Дано:
- A = 20 В
- B = 100π рад/с
- C = 5 мкФ = 5 * 10^(-6) Ф

Найти:
а) зависимости заряда конденсатора и силы тока в катушке от времени
б) зависимости энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки от времени

Решение:

а)

1. Заряд конденсатора q(t) связан с напряжением U(t) следующим образом:
q(t) = C * U(t)
q(t) = C * A * sin(Bt)
q(t) = (5 * 10^(-6)) * (20) * sin(100πt)
q(t) = 1 * 10^(-4) * sin(100πt) Кл

2. Сила тока I(t) связана с зарядом q(t) следующим образом:
I(t) = dq/dt
Для нахождения производной используем:
I(t) = C * dU/dt
I(t) = C * A * B * cos(Bt)
I(t) = (5 * 10^(-6)) * (20) * (100π) * cos(100πt)
I(t) = 1 * 10^(-3) * cos(100πt) А

Теперь можно построить графики q(t) и I(t).

Записываем уравнения:
- q(t) = 1 * 10^(-4) * sin(100πt)
- I(t) = 1 * 10^(-3) * cos(100πt)

б)

1. Энергия электрического поля Ue(t) в конденсаторе вычисляется по формуле:
Ue(t) = (1/2) * C * U^2(t)
Ue(t) = (1/2) * C * (A * sin(Bt))^2
Ue(t) = (1/2) * (5 * 10^(-6)) * (20 * sin(100πt))^2
Ue(t) = (1/2) * (5 * 10^(-6)) * (400 * sin^2(100πt))
Ue(t) = 1 * 10^(-3) * sin^2(100πt) Дж

2. Энергия магнитного поля Um(t) в катушке вычисляется по формуле:
Um(t) = (1/2) * L * I^2(t)
где L - индуктивность. Необходимо найти L через известные параметры:
L = 1 / (B^2 * C), где B = 100π рад/с, C = 5 * 10^(-6) Ф
L = 1 / ((100π)^2 * (5 * 10^(-6)))
L = 1 / (10000π^2 * 5 * 10^(-6))

Сначала найдем значение L:
L ≈ 1 / (0.0001570796326794895)
L ≈ 6366.1977 Гн

Теперь вычислим Um(t):
Um(t) = (1/2) * L * I^2(t)
Um(t) = (1/2) * 6366.1977 * (1 * 10^(-3) * cos(100πt))^2
Um(t) = (3183.09885) * (10^(-6) * cos^2(100πt))
Um(t) = 3.183 * cos^2(100πt) Дж

Теперь мы имеем уравнения для энергий:
- Ue(t) = 1 * 10^(-3) * sin^2(100πt)
- Um(t) = 3.183 * cos^2(100πt)

Ответ:
а) Для зависимостей от времени:
- q(t) = 1 * 10^(-4) * sin(100πt) Кл
- I(t) = 1 * 10^(-3) * cos(100πt) А

б) Для энергий:
- Ue(t) = 1 * 10^(-3) * sin^2(100πt) Дж
- Um(t) = 3.183 * cos^2(100πt) Дж

Графики этих функций можно построить с помощью графического калькулятора или программного обеспечения для построения графиков.