дано:
- период колебаний T
- индуктивность L (неизвестно, но будет использоваться в расчете энергии магнитного поля)
- емкость C (неизвестно, но будет использоваться в расчете энергии электрического поля)
найти:
- отношение энергии магнитного поля U_m к энергии электрического поля U_e для момента времени T/8
решение:
1. Определим выражения для энергии магнитного и электрического полей в колебательном контуре.
Энергия магнитного поля U_m в катушке с индуктивностью L может быть выражена как:
U_m = (1/2) * L * I^2,
где I - ток в цепи.
Энергия электрического поля U_e в конденсаторе с ёмкостью C определяется как:
U_e = (1/2) * C * U^2,
где U - напряжение на конденсаторе.
2. В идеальном колебательном контуре ток I и напряжение U меняются синусоидально во времени. В момент времени t=T/8, можно выразить ток и напряжение следующим образом:
I(t) = I_max * sin(ωt),
U(t) = U_max * sin(ω(t + T/4)),
где ω = 2π/T - угловая частота.
В момент времени T/8:
I(T/8) = I_max * sin(ω(T/8)) = I_max * sin(π/4) = I_max * (√2/2),
U(T/8) = U_max * sin(ω(T/8 + T/4)) = U_max * sin(3π/4) = U_max * (√2/2).
3. Теперь подставим значения I и U в наши формулы для энергий.
Для энергии магнитного поля:
U_m = (1/2) * L * (I_max * (√2/2))^2
= (1/2) * L * (I_max^2 * 2/4)
= (1/4) * L * I_max^2.
Для энергии электрического поля:
U_e = (1/2) * C * (U_max * (√2/2))^2
= (1/2) * C * (U_max^2 * 2/4)
= (1/4) * C * U_max^2.
4. Найдем отношение U_m к U_e:
(U_m / U_e) = ((1/4) * L * I_max^2) / ((1/4) * C * U_max^2)
= (L * I_max^2) / (C * U_max^2).
5. Зная, что в идеальном колебательном контуре выполняется соотношение:
U_max = I_max * √(L/C), можно выразить U_max^2:
U_max^2 = I_max^2 * (L/C).
6. Подставим это значение в выражение для отношения:
(U_m / U_e) = (L * I_max^2) / (C * (I_max^2 * (L/C)))
= (L * I_max^2) / (L * I_max^2)
= 1.
ответ:
Отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля для момента времени T/8 составляет 1.