Дано:
- Емкость конденсатора C
- Индуктивность катушки L
Найти:
а) отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля спустя время t = T/6;
б) отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля, когда мгновенное напряжение на конденсаторе будет в четыре раза меньше амплитудного.
Решение:
1. Период колебаний T можно выразить как:
T = 2π * sqrt(LC).
2. Энергия электрического поля конденсатора Ue:
Ue = (1/2) * C * V^2,
где V — напряжение на конденсаторе.
3. Энергия магнитного поля катушки Um:
Um = (1/2) * L * I^2,
где I — ток через катушку.
4. Для колебательного контура выполняется соотношение:
Ue + Um = Uemax (в любой момент времени).
а) Спустя время t = T/6
5. В момент времени t = T/6:
Напряжение на конденсаторе:
V = Vmax * cos(ωt),
где ω = 2π/T.
Подставим значение t = T/6:
V = Vmax * cos(π/3) = Vmax * (1/2).
6. Тогда заряд на конденсаторе будет:
Q = C * V = C * (Vmax / 2).
7. Энергия электрического поля:
Ue = (1/2) * C * (Vmax / 2)^2 = (1/2) * C * (Vmax^2 / 4) = (1/8) * (1/2) * C * Vmax^2 = (1/8) * Uemax.
8. Теперь найдем ток I в момент времени t = T/6:
I = Imax * sin(ωt) = Imax * sin(π/3) = Imax * (√3/2).
9. Энергия магнитного поля:
Um = (1/2) * L * (Imax * √3/2)^2 = (1/2) * L * (Imax^2 * 3/4) = (3/8) * Ummax,
где Ummax = (1/2) * L * Imax^2.
10. Отношение энергий:
Um/Ue = ((3/8) * Ummax) / ((1/8) * Uemax) = 3 * (Ummax/Uemax).
Так как Uemax = Ummax, получаем:
Um/Ue = 3.
б) Когда мгновенное напряжение на конденсаторе в 4 раза меньше амплитудного
11. Мгновенное напряжение:
V = Vmax / 4.
12. Заряд на конденсаторе:
Q = C * (Vmax / 4).
13. Энергия электрического поля:
Ue = (1/2) * C * (Vmax / 4)^2 = (1/2) * C * (Vmax^2 / 16) = (1/32) * Uemax.
14. Ток I в этот момент:
Учитывая, что Vmax соответствует максимальному заряду, тогда:
Q = C * Vmax → I = Imax * sin(θ), где θ — угол, соответствующий этому напряжению.
15. Можем использовать ту же зависимость для I:
Так как V = L * (dI/dt), и I = Imax * sin(θ).
16. Посчитаем Um:
Используя аналогичные шаги:
Um = (1/2) * L * (Imax * sin(θ))^2,
где sin(θ) определяется из V = Vmax / 4.
17. Получаем:
Um = (1/2) * L * (Imax^2 / 16) = (1/32) * Ummax.
18. Отношение:
Um/Ue = ((1/32) * Ummax) / ((1/32) * Uemax) = 1.
Ответ:
а) отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля равно 3;
б) отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля равно 1.