Дано:
Пусть у нас есть набор чисел x1, x2, ..., xn.
Обозначим:
- среднее арифметическое (средняя) данного набора как M = (x1 + x2 + ... + xn) / n.
- константу как k.
- увеличенный набор чисел будет x'i = k * xi для каждого i.
Необходимо найти:
Доказать, что дисперсия исходного набора и увеличенного на одну и ту же константу умножится на квадрат этой константы.
Решение:
1. Дисперсия определяется по следующей формуле:
D = (1/n) * Σ (xi - M)^2, где i = 1 до n.
2. Для исходного набора:
D = (1/n) * ((x1 - M)^2 + (x2 - M)^2 + ... + (xn - M)^2).
3. Теперь рассмотрим увеличенный набор чисел:
x'i = k * xi для каждого i.
4. Среднее арифметическое увеличенного набора будет:
M' = (k * x1 + k * x2 + ... + k * xn) / n
= k * (x1 + x2 + ... + xn) / n
= k * M.
5. Теперь найдем дисперсию увеличенного набора:
D' = (1/n) * Σ (x'i - M')^2
= (1/n) * Σ (k * xi - k * M)^2
= (1/n) * Σ (k * (xi - M))^2
= (1/n) * Σ (k^2 * (xi - M)^2)
= k^2 * (1/n) * Σ (xi - M)^2
= k^2 * D.
6. Мы видим, что:
D' = k^2 * D.
Таким образом, дисперсия умножается на квадрат константы k при умножении каждого числа в наборе на эту константу.
Ответ:
Дисперсия умножится на квадрат константы при умножении каждого числа в наборе на одну и ту же константу.