Дано:
Пусть у нас есть набор чисел x1, x2, ..., xn.
Обозначим:
- среднее арифметическое (средняя) данного набора как M = (x1 + x2 + ... + xn) / n.
- константу как k.
- увеличенный набор чисел будет x1 + k, x2 + k, ..., xn + k.
Необходимо найти:
Доказать, что дисперсия исходного набора и увеличенного на одну и ту же константу не изменится.
Решение:
1. Дисперсия определяется по следующей формуле:
D = (1/n) * Σ (xi - M)^2, где i = 1 до n.
2. Для исходного набора:
D = (1/n) * ((x1 - M)^2 + (x2 - M)^2 + ... + (xn - M)^2).
3. Теперь рассматриваем увеличенный набор чисел:
x'i = xi + k для каждого i.
4. Среднее арифметическое увеличенного набора будет:
M' = (x1 + k + x2 + k + ... + xn + k) / n
= (x1 + x2 + ... + xn + nk) / n
= M + k.
5. Теперь найдем дисперсию увеличенного набора:
D' = (1/n) * Σ (x'i - M')^2
= (1/n) * Σ ((xi + k) - (M + k))^2
= (1/n) * Σ (xi - M)^2.
6. Мы видим, что:
D' = D.
Таким образом, дисперсия не изменяется при увеличении каждого числа в наборе на одну и ту же константу k.
Ответ:
Дисперсия остается неизменной при увеличении каждого числа в наборе на одну и ту же константу.