Дано:
Числовой набор: 1, 2, 3, 4, x.
Необходимо найти:
Дисперсию (D) и стандартное отклонение (σ), выразив их через x. Также определить, при каком значении x они достигают минимума.
Решение:
1. Найдем среднее значение (M):
M = (1 + 2 + 3 + 4 + x) / 5
M = (10 + x) / 5.
2. Найдем дисперсию (D):
D = (1/n) * Σ (xi - M)², где n = 5.
Вычислим (xi - M)² для каждого значения:
(1 - M)² = (1 - (10 + x)/5)² = (5 - (10 + x))/5)² = ((-9 - x)/5)² = (9 + x)² / 25,
(2 - M)² = (2 - (10 + x)/5)² = ((-8 - x)/5)² = (8 + x)² / 25,
(3 - M)² = (3 - (10 + x)/5)² = ((-7 - x)/5)² = (7 + x)² / 25,
(4 - M)² = (4 - (10 + x)/5)² = ((-6 - x)/5)² = (6 + x)² / 25,
(x - M)² = (x - (10 + x)/5)² = ((4x - 10)/5)² = (4x - 10)² / 25.
Теперь сложим все эти значения:
Σ (xi - M)² = (9 + x)² + (8 + x)² + (7 + x)² + (6 + x)² + (4x - 10)².
Раскроем скобки и упростим:
(9 + x)² = 81 + 18x + x²,
(8 + x)² = 64 + 16x + x²,
(7 + x)² = 49 + 14x + x²,
(6 + x)² = 36 + 12x + x²,
(4x - 10)² = 16x² - 80x + 100.
Сложим все это:
Σ (xi - M)² = (81 + 64 + 49 + 36 + 100) + (18x + 16x + 14x + 12x - 80x) + (1 + 1 + 1 + 1 + 16)x².
Итого:
Σ (xi - M)² = 330 + (-30 + 4)x + 4x² = 330 - 30x + 4x².
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
D = (1/5) * Σ (xi - M)² = (1/5) * (330 - 30x + 4x²) = 66 - 6x + (4/5)x².
3. Найдем стандартное отклонение (σ):
σ = √D = √(66 - 6x + (4/5)x²).
Графики зависимостей D и σ от x будут параболическими, так как обе функции являются квадратичными. Они достигнут минимума, когда первая производная равна нулю.
Чтобы найти минимум дисперсии D, найдем производную и приравняем к нулю:
dD/dx = -6 + (8/5)x = 0.
8x = 30.
x = 30/8 = 3.75.
Ответ:
Дисперсия равна 66 - 6x + (4/5)x², стандартное отклонение равно √(66 - 6x + (4/5)x²). Они достигают минимума при x = 3.75.