дано: Граф, в котором все вершины имеют степень 3.
найти: Доказать, что в графе существует цикл.
решение:
1. Степень вершины - это количество рёбер, соединяющих эту вершину с другими вершинами.
2. Поскольку каждая вершина в графе имеет степень 3, это означает, что каждая вершина соединена с тремя другими вершинами.
3. Рассмотрим произвольную вершину v в графе. Эта вершина соединена с тремя вершинами: пусть это будут вершины u1, u2 и u3.
4. Если мы начнем обходить граф от вершины v, то у нас есть три направления (по рёбрам к вершинам u1, u2 и u3).
5. В процессе обхода мы можем вернуться к вершине v через одно из рёбер, если встретим любую из трёх уже посещённых вершин. Однако, поскольку все вершины имеют степень 3, они могут вести к другим вершинам, не возвращая нас сразу назад.
6. Если продолжить обход, то, как только мы будем двигаться по графу, при достижении некоторой вершины, которая соединяется с несколькими гранями, произойдёт следующее:
- Мы можем дойти до состояния, когда будем вынуждены использовать рёбра, которые уже были использованы в нашем пути, потому что у нас нет других "выходов" (так как все вершины имеют степень 3).
7. Это приводит к тому, что мы обязательно вернёмся к одной из ранее посещённых вершин, создавая цикл.
ответ: В графе, где все вершины имеют степень 3, действительно существует цикл.