дано: В дереве 3 вершины степени 3 и 4 вершины степени 2. Остальные вершины имеют степень 1.
найти: Сколько остальных вершин в дереве?
решение:
1. Пусть общее количество вершин в дереве равно n.
2. По свойству дерева, количество рёбер в дереве равно n - 1.
3. Подсчитаем сумму степеней всех вершин. Для этого используем формулу для суммы степеней:
- Сумма степеней = 3 * кол-во_вершин_степени_3 + 2 * кол-во_вершин_степени_2 + 1 * кол-во_вершин_степени_1.
4. Подставим известные значения:
- Сумма степеней = 3 * 3 + 2 * 4 + 1 * k, где k - количество вершин степени 1.
- Сумма степеней = 9 + 8 + k = 17 + k.
5. Сумма степеней также равна 2 * (кол-во рёбер) = 2 * (n - 1).
6. Следовательно, 17 + k = 2 * (n - 1).
7. Заменим n на k + 3 + 4 (так как у нас 3 вершины степени 3 и 4 вершины степени 2):
- n = k + 7.
8. Подставим это значение в уравнение:
- 17 + k = 2 * ((k + 7) - 1).
- 17 + k = 2 * (k + 6).
- 17 + k = 2k + 12.
9. Теперь решим это уравнение:
- 17 - 12 = 2k - k,
- 5 = k.
10. Таким образом, количество вершин степени 1 равно k = 5.
ответ: В дереве 5 вершин степени 1.