дано: В дереве 40 вершин степени 4, а все остальные вершины являются листьями (вершины степени 1).
найти: Сколько листьев в дереве?
решение:
1. Пусть общее количество вершин в дереве равно n.
2. По свойству дерева, количество рёбер в дереве равно n - 1.
3. Подсчитаем сумму степеней всех вершин. Для этого используем формулу для суммы степеней:
- Сумма степеней = 4 * кол-во_вершин_степени_4 + 1 * кол-во_листьев.
4. Обозначим количество листьев как k. Тогда сумма степеней будет равна:
- Сумма степеней = 4 * 40 + 1 * k = 160 + k.
5. Сумма степеней также равна 2 * (кол-во рёбер) = 2 * (n - 1).
6. Таким образом, мы имеем уравнение:
- 160 + k = 2 * (n - 1).
7. Заменим n на (k + 40), так как у нас 40 вершин степени 4 и k листьев:
- n = k + 40.
8. Подставим это значение в уравнение:
- 160 + k = 2 * ((k + 40) - 1).
- 160 + k = 2 * (k + 39).
- 160 + k = 2k + 78.
9. Теперь решим это уравнение:
- 160 - 78 = 2k - k,
- 82 = k.
10. Таким образом, количество листьев равно k = 82.
ответ: В дереве 82 листа.