Дано:
1. Количество бросков монеты: n = 13.
2. Вероятность выпадения орла в одном броске: p = 0,5.
Найти:
Вероятность того, что орлов выпадет больше, чем решек: P(X > 6), где X - количество орлов.
Решение:
В данном случае, чтобы количество орлов было больше количества решек, необходимо, чтобы выпало более половины от общего числа бросков. То есть нам нужно, чтобы X превышало 6 (поскольку 6 орлов и 7 решек будут равны).
Найдём вероятность для случаев, когда количество орлов равно 7, 8, 9, 10, 11, 12 или 13. Мы можем использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности каждого из этих значений X. Формула для вероятности k успехов в n испытаниях имеется следующий вид:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который рассчитывается как C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).
Теперь мы вычислим P(X > 6):
P(X > 6) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) + P(X = 13).
Подсчитаем каждую из вероятностей с использованием формулы.
1. P(X = 7):
C(13, 7) = 13! / (7! * 6!) = 1716,
P(X = 7) = 1716 * (0,5)^7 * (0,5)^6 = 1716 / 8192 = 0,209.
2. P(X = 8):
C(13, 8) = 13! / (8! * 5!) = 1287,
P(X = 8) = 1287 * (0,5)^8 * (0,5)^5 = 1287 / 32768 = 0,039.
3. P(X = 9):
C(13, 9) = 13! / (9! * 4!) = 715,
P(X = 9) = 715 * (0,5)^9 * (0,5)^4 = 715 / 65536 = 0,011.
4. P(X = 10):
C(13, 10) = 13! / (10! * 3!) = 286,
P(X = 10) = 286 * (0,5)^10 * (0,5)^3 = 286 / 131072 = 0,002.
5. P(X = 11):
C(13, 11) = 13! / (11! * 2!) = 78,
P(X = 11) = 78 * (0,5)^11 * (0,5)^2 = 78 / 262144 = 0,0003.
6. P(X = 12):
C(13, 12) = 13! / (12! * 1!) = 13,
P(X = 12) = 13 * (0,5)^12 * (0,5)^1 = 13 / 524288 = 0,000025.
7. P(X = 13):
C(13, 13) = 1,
P(X = 13) = 1 * (0,5)^13 * (0,5)^0 = 1 / 8192 = 0,000122.
Теперь суммируем все вероятности:
P(X > 6) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) + P(X = 13)
= 0,209 + 0,039 + 0,011 + 0,002 + 0,0003 + 0,000025 + 0,000122
= 0,261.
Ответ:
Вероятность того, что орлов выпадет больше, чем решек, составляет 0,261 или 26,1%.