дано:
- количество бросков монеты n = 4, 5, 20;
найти:
- вероятность того, что орлов выпадет больше, чем решек.
решение:
1. Для начала определим общее количество исходов. При n бросках монеты возможны 2^n различных исходов.
2. Вероятность того, что орлов больше, чем решек, можно найти, анализируя количество случаев, когда количество орлов k больше количества решек. В этом случае k должно быть больше n/2.
3. Рассмотрим каждый случай:
а) n = 4
- Возможные значения k: 3, 4 (количество орлов).
- Вероятности:
P(k=3) = C(4, 3) * (0.5)^4 = 4 * 0.0625 = 0.25
P(k=4) = C(4, 4) * (0.5)^4 = 1 * 0.0625 = 0.0625
- Общая вероятность: P(к > 2) = P(k=3) + P(k=4) = 0.25 + 0.0625 = 0.3125.
б) n = 5
- Возможные значения k: 3, 4, 5.
- Вероятности:
P(k=3) = C(5, 3) * (0.5)^5 = 10 * 0.03125 = 0.3125
P(k=4) = C(5, 4) * (0.5)^5 = 5 * 0.03125 = 0.15625
P(k=5) = C(5, 5) * (0.5)^5 = 1 * 0.03125 = 0.03125
- Общая вероятность: P(к > 2.5) = P(k=3) + P(k=4) + P(k=5) = 0.3125 + 0.15625 + 0.03125 = 0.5.
в) n = 20
- Здесь мы можем использовать нормальное приближение.
- Обозначим X - количество орлов при 20 бросках, тогда X распределено по биномиальному закону B(20, 0.5).
- Ожидаемое значение E(X) = n * p = 20 * 0.5 = 10; дисперсия Var(X) = n * p * (1-p) = 20 * 0.5 * 0.5 = 5.
- Применяем нормальное приближение: Z = (X - E(X)) / sqrt(Var(X)).
- Нам необходимо найти P(X > 10).
- По нормальному распределению для X = 10 Z = (10 - 10) / sqrt(5) = 0.
- Используя таблицу стандартного нормального распределения, найдем P(Z > 0) = 0.5.
ответ:
а) P(орлов > решек) = 0.3125;
б) P(орлов > решек) = 0.5;
в) P(орлов > решек) ≈ 0.5.