Дано:
1. 5 учеников.
2. 8 факультативов.
Найти:
Вероятность того, что хотя бы двое из них выберут один и тот же факультатив.
Решение:
1. Сначала найдем вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что все 5 учеников выберут разные факультативы.
2. Общее количество способов, которыми 5 учеников могут записаться на 8 факультативов:
Поскольку каждый из 5 учеников может выбрать любой из 8 факультативов, общее количество вариантов будет равно:
8^5.
3. Теперь вычислим количество благоприятных случаев, когда все 5 учеников выбирают разные факультативы:
- Первый ученик может выбрать любой из 8 факультативов: 8 вариантов.
- Второй ученик может выбрать любой из 7 оставшихся факультативов: 7 вариантов.
- Третий ученик может выбрать любой из 6 оставшихся факультативов: 6 вариантов.
- Четвертый ученик может выбрать любой из 5 оставшихся факультативов: 5 вариантов.
- Пятый ученик может выбрать любой из 4 оставшихся факультативов: 4 варианта.
Таким образом, количество благоприятных случаев равно:
8 × 7 × 6 × 5 × 4.
4. Теперь найдем вероятность того, что все 5 учеников выберут разные факультативы:
P(разные факультативы) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4) / (8^5).
5. Упрощаем выражение:
8^5 = 32768, и количество благоприятных случаев:
8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6720.
Тогда вероятность того, что все 5 учеников выберут разные факультативы:
P(разные факультативы) = 6720 / 32768 = 21 / 1024.
6. Теперь найдем вероятность того, что хотя бы двое учеников выберут один и тот же факультатив:
P(хотя бы двое) = 1 - P(разные факультативы) = 1 - (21 / 1024) = (1024 - 21) / 1024 = 1003 / 1024.
Ответ:
Вероятность того, что хотя бы двое из них выберут один и тот же факультатив = 1003/1024.