Дано:
Вероятность попадания в мишень P = 0,8.
Количество мишеней N = 3.
Количество выстрелов K = 4.
Найти:
Вероятность того, что биатлонист поразит все 3 мишени.
Решение:
Биатлонист должен поразить 3 мишени из 4 выстрелов. Мы можем использовать распределение Бернулли для решения этой задачи, а именно биномиальное распределение.
Обозначим:
X — количество попавших в цель выстрелов.
X ~ Binomial(K, P), где K = 4, P = 0,8.
Нам нужно найти вероятность того, что X >= 3, то есть биатлонист поразит 3 или 4 мишени из 4 выстрелов.
Сначала найдем вероятность того, что он попадет ровно в 3 мишени (X = 3):
P(X = 3) = C(4, 3) * P^3 * (1 - P)^(4 - 3),
где C(4, 3) — это число сочетаний из 4 по 3, равное 4.
Подставляем значения:
P(X = 3) = 4 * (0,8)^3 * (0,2)^1.
Теперь вычислим:
(0,8)^3 = 0,512.
(0,2)^1 = 0,2.
Таким образом:
P(X = 3) = 4 * 0,512 * 0,2 = 4 * 0,1024 = 0,4096.
Теперь найдём вероятность того, что он попадет ровно в 4 мишени (X = 4):
P(X = 4) = C(4, 4) * P^4 * (1 - P)^(4 - 4) = 1 * (0,8)^4 * (0,2)^0.
Подставляем значения:
P(X = 4) = 1 * (0,8)^4 = (0,8)^4 = 0,4096.
Теперь суммируем вероятности:
P(X >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,4096 + 0,4096 = 0,8192.
Ответ:
Вероятность того, что биатлонисту не придётся бежать штрафные круги, составляет 0,8192.