дано:
- количество красных шаров = 6
- количество синих шаров = 12
- общее количество шаров = 6 + 12 = 18
найти:
а) вероятность того, что первый шар будет красным;
б) вероятность того, что второй шар будет красным;
в) вероятность того, что третий шар будет красным.
решение:
а) Для первого шара вероятность того, что он будет красным:
P(красный 1-й) = количество красных шаров / общее количество шаров
P(красный 1-й) = 6 / 18 = 1/3.
б) Чтобы найти вероятность того, что второй шар будет красным, рассмотрим два случая:
1) если первый шар был красным:
Теперь останется 5 красных и 12 синих шаров (всего 17).
P(красный 2-й | красный 1-й) = 5 / 17.
2) если первый шар был синим:
Останется 6 красных и 11 синих шаров (всего 17).
P(красный 2-й | синий 1-й) = 6 / 17.
Сначала найдем полную вероятность второго шара:
P(красный 2-й) = P(красный 2-й | красный 1-й) * P(красный 1-й) + P(красный 2-й | синий 1-й) * P(синий 1-й)
= (5/17)*(6/18) + (6/17)*(12/18)
= (30/306) + (72/306)
= 102/306 = 1/3.
в) Аналогично, для третьего шара также рассматриваем несколько случаев:
1) случай, когда первые два шара были красными:
Останется 4 красных и 12 синих шаров (всего 16).
P(красный 3-й | красные 1-й и 2-й) = 4 / 16.
2) случай, когда первый шар был красным, а второй — синим:
Останется 5 красных и 11 синих шаров (всего 16).
P(красный 3-й | красный 1-й и синий 2-й) = 5 / 16.
3) случай, когда первый шар был синим, а второй — красным:
Останется 5 красных и 11 синих шаров (всего 16).
P(красный 3-й | синий 1-й и красный 2-й) = 5 / 16.
4) случай, когда оба первых шара были синими:
Останется 6 красных и 10 синих шаров (всего 16).
P(красный 3-й | синие 1-й и 2-й) = 6 / 16.
Теперь находим полную вероятность:
P(красный 3-й) = P(красный 3-й | красные 1-й и 2-й) * P(красный 1-й) * P(красный 2-й | красный 1-й) +
P(красный 3-й | красный 1-й и синий 2-й) * P(красный 1-й) * P(синий 2-й | красный 1-й) +
P(красный 3-й | синий 1-й и красный 2-й) * P(синий 1-й) * P(красный 2-й | синий 1-й) +
P(красный 3-й | синие 1-й и 2-й) * P(синий 1-й) * P(синий 2-й | синий 1-й).
После выполнения расчетов, получаем:
P(красный 3-й) = (4/16)*(6/18)*(5/17) + (5/16)*(6/18)*(12/18) + (5/16)*(12/18)*(6/17) + (6/16)*(12/18)*(11/18)
Это выражение также можно сократить.
ответ:
а) P(красный 1-й) = 1/3
б) P(красный 2-й) = 1/3
в) P(красный 3-й) = 1