В ящике лежит 6 красных и 12 синих шаров. Из него один за другим вынимают 3 шара. С какой вероятностью:
 а) первый шар будет красным; б) второй шар будет красным; в) третий шар будет красным?
от

1 Ответ

дано:  
- количество красных шаров = 6  
- количество синих шаров = 12  
- общее количество шаров = 6 + 12 = 18  

найти:  
а) вероятность того, что первый шар будет красным;  
б) вероятность того, что второй шар будет красным;  
в) вероятность того, что третий шар будет красным.  

решение:  
а) Для первого шара вероятность того, что он будет красным:  
P(красный 1-й) = количество красных шаров / общее количество шаров  
P(красный 1-й) = 6 / 18 = 1/3.  

б) Чтобы найти вероятность того, что второй шар будет красным, рассмотрим два случая:  
1) если первый шар был красным:  
Теперь останется 5 красных и 12 синих шаров (всего 17).  
P(красный 2-й | красный 1-й) = 5 / 17.  

2) если первый шар был синим:  
Останется 6 красных и 11 синих шаров (всего 17).  
P(красный 2-й | синий 1-й) = 6 / 17.  

Сначала найдем полную вероятность второго шара:  
P(красный 2-й) = P(красный 2-й | красный 1-й) * P(красный 1-й) + P(красный 2-й | синий 1-й) * P(синий 1-й)  
= (5/17)*(6/18) + (6/17)*(12/18)  
= (30/306) + (72/306)  
= 102/306 = 1/3.

в) Аналогично, для третьего шара также рассматриваем несколько случаев:

1) случай, когда первые два шара были красными:  
Останется 4 красных и 12 синих шаров (всего 16).  
P(красный 3-й | красные 1-й и 2-й) = 4 / 16.  

2) случай, когда первый шар был красным, а второй — синим:  
Останется 5 красных и 11 синих шаров (всего 16).  
P(красный 3-й | красный 1-й и синий 2-й) = 5 / 16.  

3) случай, когда первый шар был синим, а второй — красным:  
Останется 5 красных и 11 синих шаров (всего 16).  
P(красный 3-й | синий 1-й и красный 2-й) = 5 / 16.  

4) случай, когда оба первых шара были синими:  
Останется 6 красных и 10 синих шаров (всего 16).  
P(красный 3-й | синие 1-й и 2-й) = 6 / 16.  

Теперь находим полную вероятность:  
P(красный 3-й) = P(красный 3-й | красные 1-й и 2-й) * P(красный 1-й) * P(красный 2-й | красный 1-й) +  
P(красный 3-й | красный 1-й и синий 2-й) * P(красный 1-й) * P(синий 2-й | красный 1-й) +  
P(красный 3-й | синий 1-й и красный 2-й) * P(синий 1-й) * P(красный 2-й | синий 1-й) +  
P(красный 3-й | синие 1-й и 2-й) * P(синий 1-й) * P(синий 2-й | синий 1-й).

После выполнения расчетов, получаем:  
P(красный 3-й) = (4/16)*(6/18)*(5/17) + (5/16)*(6/18)*(12/18) + (5/16)*(12/18)*(6/17) + (6/16)*(12/18)*(11/18)  
Это выражение также можно сократить.  

ответ:  
а) P(красный 1-й) = 1/3  
б) P(красный 2-й) = 1/3  
в) P(красный 3-й) = 1
от