дано:
P(A) - безусловная вероятность события A.
H1, H2, ..., Hn - всевозможные несовместные события, которые составляют полную группу.
P(A | H1), P(A | H2), ..., P(A | Hn) - условные вероятности события A при условии событий Hi.
найти:
Доказать, что P(A) лежит в промежутке между минимальной и максимальной из условных вероятностей P(A | Hi).
решение:
Согласно теореме полной вероятности, безусловная вероятность P(A) выражается как следующее:
P(A) = P(A | H1)*P(H1) + P(A | H2)*P(H2) + ... + P(A | Hn)*P(Hn)
где P(H1), P(H2), ..., P(Hn) - вероятности событий Hi, такие что P(H1) + P(H2) + ... + P(Hn) = 1.
Теперь рассмотрим границы для P(A):
1. Поскольку P(H1), P(H2), ..., P(Hn) являются неотрицательными вероятностями, их сумма равна 1. Следовательно, коэффициенты P(H1), P(H2), ..., P(Hn) могут варьироваться от 0 до 1.
2. Если рассмотреть P(A | H1) как максимальную вероятность среди P(A | Hi), обозначим ее как M, и P(A | Hn) как минимальную вероятность, обозначив как m:
m = min(P(A | H1), P(A | H2), ..., P(A | Hn)
M = max(P(A | H1), P(A | H2), ..., P(A | Hn)
3. Учитывая, что P(Hi) >= 0 и P(H1) + P(H2) + ... + P(Hn) = 1, можно утверждать следующее:
- Если P(H1) = 1, то P(A) = P(A | H1).
- Если P(H1) = 0 и P(H2) = 1, то P(A) = P(A | H2.
- В общем случае, если P(A | Hi) принимает значения между m и M, то P(A) будет взвешенной средней этих значений с учетом вероятностей P(Hi).
Таким образом, используя свойства взвешенной средней, можно сказать, что P(A) находится в диапазоне от минимального значения m до максимального значения M:
m <= P(A) <= M
Ответ:
Доказано, что безусловная вероятность P(A) всегда лежит в промежутке между минимальной и максимальной из условных вероятностей P(A | Hi).