Дано:
- Уроки:
- для пункта а): алгебра, русский язык, литература, география, вероятность и статистика (всего 5 уроков);
- для пункта б): 2 алгебры, русский язык, литература, география (всего 5 уроков);
- для пункта в): 2 алгебры (которые должны стоять рядом), русский язык, литература, география (всего 5 уроков);
- для пункта г): алгебра, русский язык, литература, география, физкультура (всего 5 уроков, при этом русский язык и литература должны стоять рядом, а физкультура — быть последним уроком).
Найти:
1. Общее количество способов составить расписание для каждого пункта.
Решение:
1. Для пункта а):
У нас есть 5 различных уроков: алгебра, русский язык, литература, география, вероятность и статистика.
Количество способов расставить 5 различных уроков рассчитывается по формуле:
N = n!,
где n — количество уроков.
В нашем случае n = 5.
Тогда:
N = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
2. Для пункта б):
У нас есть 2 алгебры и 3 других урока: русский язык, литература, география. Всего 5 уроков, где одна пара одинаковая (алгебры).
Количество способов расставить уроки рассчитывается по формуле:
N = n! / k!,
где n — общее количество уроков, k — количество одинаковых уроков.
В нашем случае n = 5, k = 2 (алгебры).
Тогда:
N = 5! / 2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 120 / 2 = 60.
3. Для пункта в):
Объединим две алгебры в одну группу (так как они должны стоять рядом). У нас теперь 4 группы: (алгебра, алгебра), русский язык, литература, география.
Количество способов расставить 4 группы:
N = n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
4. Для пункта г):
У нас есть 4 урока: алгебра, русский язык, литература и география, а физкультура должна быть последним уроком, и русский язык и литература должны стоять рядом.
Сначала объединим русский язык и литературу в одну группу (как единое целое). У нас теперь 4 группы: алгебра, (русский язык, литература), география и физкультура.
Количество способов расставить 4 группы (где физкультура фиксирована на последнем месте):
N = n! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
Внутри группы (русский язык, литература) также есть 2 варианта их расположения (русский язык перед литературой или наоборот):
Учитываем это:
Общее количество = 3! × 2! = 6 × 2 = 12.
Ответ:
1. Для пункта а): 120 способов.
2. Для пункта б): 60 способов.
3. Для пункта в): 24 способа.
4. Для пункта г): 12 способов.