Дано: Множество A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, размер множества n = 10.
Найти: Количество подмножеств множества A по различным условиям.
Решение:
а) Подмножества из трёх элементов:
Количество таких подмножеств можно найти с помощью комбинаций C(n, k), где n – количество элементов в множестве, k – количество выбираемых элементов.
Количество подмножеств = C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)
= 10! / (3! * 7!)
= (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1)
= 120.
б) Подмножества из пяти элементов, содержащие 1:
Сначала зафиксируем 1 как один из элементов, тогда нам нужно выбрать 4 элемента из оставшихся 9 элементов (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Количество подмножеств = C(9, 4) = 9! / (4! * (9 - 4)!)
= 9! / (4! * 5!)
= (9 * 8 * 7 * 6) / (4 * 3 * 2 * 1)
= 126.
в) Подмножества из шести элементов, не содержащие 2:
Если 2 исключено, то оставшиеся элементы: {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, всего 9 элементов.
Количество подмножеств = C(9, 6) = 9! / (6! * (9 - 6)!)
= 9! / (6! * 3!)
= (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)
= 84.
д) Подмножества из трёх чётных и двух нечётных чисел:
Чётные числа в A: {0, 2, 4, 6, 8} (всего 5).
Нечётные числа в A: {1, 3, 5, 7, 9} (всего 5).
Выбираем 3 из чётных и 2 из нечётных:
Количество подмножеств = C(5, 3) * C(5, 2)
= (5! / (3! * 2!)) * (5! / (2! * 3!))
= (10) * (10)
= 100.
е) Подмножства, содержащие меньше пяти элементов:
Подмножества могут содержать 0, 1, 2, 3 или 4 элемента.
Количество подмножеств:
- 0 элементов: C(10, 0) = 1.
- 1 элемент: C(10, 1) = 10.
- 2 элемента: C(10, 2) = 45.
- 3 элемента: C(10, 3) = 120.
- 4 элемента: C(10, 4) = 210.
Общее количество подмножеств = 1 + 10 + 45 + 120 + 210 = 386.
Ответ:
а) 120 подмножеств.
б) 126 подмножеств.
в) 84 подмножества.
г) 100 подмножеств.
е) 386 подмножеств.