дано:
1. Вместимость воздушного судна: 150 мест.
2. Загружено обедов: 75 с курицей и 75 с рыбой.
3. Каждый пассажир может выбрать обед с курицей или рыбой с равной вероятностью.
найти:
а) Вероятность того, что все пассажиры будут довольны.
б) Вероятность того, что недовольных пассажиров будет больше одного.
в) Наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
решение:
Обозначим K — количество пассажиров, выбравших курицу, и R — количество пассажиров, выбравших рыбу.
Справедливое распределение выбора обеда означает, что K и R подчиняются биномиальному распределению с параметрами n = 150 и p = 0.5, где:
K ~ B(150, 0.5)
а) Все пассажиры будут довольны, если количество выбранных обедов с курицей не превысит 75, то есть K <= 75. Это также означает, что R = 150 - K >= 75.
Для всех пассажиров, чтобы быть довольными, K должно быть равно 75. Таким образом, вероятность того, что все пассажиры будут довольны:
P(K = 75) = C(150, 75) * (0.5)^150.
где C(150, 75) — биномиальный коэффициент, определяющий количество способов выбрать 75 успехов из 150 бросков.
б) Чтобы найти вероятность того, что недовольных пассажиров будет больше одного, нужно определить, сколько пассажиров могут оказаться недовольными. Пассажиры окажутся недовольными, если K < 75 или K > 75.
Границы для недовольных пассажиров:
- Если K < 75, недовольны 150 - K.
- Если K > 75, недовольны K - 75.
Недовольные, когда K < 75:
P(K < 75) = P(K = 0) + P(K = 1) + ... + P(K = 74).
Недовольные, когда K > 75:
P(K > 75) = P(K = 76) + ... + P(K = 150).
Следовательно,
P(недовольных > 1) = 1 - P(K = 75) - P(K = 0) - P(K = 1).
в) Наиболее вероятное количество недовольных пассажиров можно оценить, используя свойства биномиального распределения. Начиная с n = 150, наибольшая вероятность наблюдается при K = 75, где количество недовольных будет равно 0, и K варьируется до 150.
Наиболее вероятное значение для K, при котором количество недовольных минимально, это 75. Однако, поскольку мы ищем недовольных, наиболее вероятное значение для недовольных пассажиров:
Наиболее вероятное число недовольных пассажиров = 0.
ответ:
а) Вероятность того, что все пассажиры будут довольны: C(150, 75) * (0.5)^150.
б) Вероятность того, что недовольных пассажиров будет больше одного: 1 - P(K = 75) - P(K = 0) - P(K = 1).
в) Наиболее вероятное число недовольных пассажиров: 0.