дано:
- вероятность правильного ответа на вопрос = 0,8
- вероятность неправильного ответа на вопрос = 1 - 0,8 = 0,2
найти:
наименьшее количество вопросов n, чтобы профессор мог выставить двойку с вероятностью не менее 0,95.
решение:
Профессор выставит двойку, если студент ошибется на первом вопросе или хотя бы на одном из следующих вопросов. То есть, нам нужно найти вероятность того, что студент ответит правильно на все n вопросов.
Вероятность того, что студент ответит правильно на все n вопросов:
P(все правильные ответы) = (0,8)^n.
Следовательно, вероятность того, что он ошибется хотя бы на одном вопросе:
P(ошибка хотя бы на одном вопросе) = 1 - P(все правильные ответы) = 1 - (0,8)^n.
Для нахождения необходимого количества вопросов n будем решать неравенство:
1 - (0,8)^n ≥ 0,95
(0,8)^n ≤ 0,05.
Теперь найдем минимальное значение n:
log((0,8)^n) ≤ log(0,05)
n * log(0,8) ≤ log(0,05)
n ≥ log(0,05) / log(0,8).
Вычисляем:
log(0,05) ≈ -1,3010
log(0,8) ≈ -0,0969.
Таким образом:
n ≥ -1,3010 / -0,0969 ≈ 13,41.
Следовательно, n = 14 (так как количество вопросов должно быть целым).
ответ:
для того, чтобы профессору хватило вопросов для выставления двойки с вероятностью не менее 0,95, нужно иметь в запасе 14 вопросов.