Дано:
- Общее количество чемоданов: N = 50
- Количество ваших чемоданов: K = 2
Найти:
а) Вероятность того, что ваши два чемодана окажутся первыми.
б) Вероятность того, что один чемодан будет первым, а другой — последним.
в) Вероятность того, что ваши чемоданы будут расположены рядом друг с другом.
г) Вероятность того, что ваши чемоданы окажутся в первой десятке.
Решение:
а) Вероятность того, что ваши два чемодана окажутся первыми.
Общее количество способов расположить 50 чемоданов на ленте:
50! (факториал 50)
Количество способов, чтобы два ваших чемодана были первыми:
2! * 48! (где 2! — перестановка ваших чемоданов, 48! — перестановка остальных чемоданов)
Вероятность:
P(первые) = (2! * 48!) / 50! = (2! * 48!) / (50 * 49 * 48!) = 2 / (50 * 49) = 1 / 1225 ≈ 0.000816
б) Вероятность того, что один чемодан будет первым, а другой — последним.
Количество способов, чтобы один ваш чемодан оказался первым, а другой — последним:
2! * 48! (где 2! — перестановка ваших чемоданов, 48! — перестановка остальных чемоданов)
Вероятность:
P(первый и последний) = (2! * 48!) / 50! = (2! * 48!) / (50 * 49 * 48!) = 2 / (50 * 49) = 1 / 1225 ≈ 0.000816
в) Вероятность того, что ваши чемоданы будут расположены рядом друг с другом.
Сначала рассматриваем ваши чемоданы как один блок. Тогда у нас есть 49 "чемоданов": 1 блок и 48 остальных чемоданов.
Количество способов расположить 49 блоков:
49!
Внутри блока ваши два чемодана могут располагаться двумя способами: 2!
Общее количество способов:
P(рядом) = (49! * 2!) / 50! = (49! * 2) / (50 * 49!) = 2 / 50 = 1 / 25 = 0.04
г) Вероятность того, что ваши чемоданы окажутся в первой десятке.
Количество способов выбрать 2 места из 10 для ваших чемоданов:
C(10, 2) = 10! / (2! * (10 - 2)!) = 10! / (2! * 8!) = 45
Количество способов расположить 48 остальных чемоданов:
48!
Общее количество способов:
P(в первой десятке) = (C(10, 2) * 48!) / 50! = (45 * 48!) / (50 * 49 * 48!) = 45 / (50 * 49) = 45 / 2450 = 9 / 490 ≈ 0.018367
Ответ:
а) Вероятность того, что ваши два чемодана окажутся первыми, составляет примерно 0.000816.
б) Вероятность того, что один чемодан будет первым, а другой — последним, составляет примерно 0.000816.
в) Вероятность того, что ваши чемоданы будут расположены рядом друг с другом, составляет 0.04.
г) Вероятность того, что ваши чемоданы окажутся в первой десятке, составляет примерно 0.018367.