Дано:
- 6 пассажиров.
- 10 этажей (со второго по одиннадцатый).
Каждый пассажир может выйти на любом из 10 этажей с равной вероятностью.
Найти:
а) Вероятность того, что на первых трех этажах не выйдет ни один из пассажиров.
б) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на первых шести этажах.
г) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже.
д) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах.
е) Вероятность того, что на каждом этаже, где будет останавливаться лифт, выйдут по два пассажира.
Решение:
а) Вероятность того, что на первых трех этажах не выйдет ни один из пассажиров.
Всего этажей: 10 (с 2 по 11).
Этажи, на которых могут выйти пассажиры: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (8 этажей).
Вероятность того, что один пассажир выйдет на одном из 8 этажей: 8/10.
Вероятность того, что все 6 пассажиров выйдут на этажах 4-11:
P(на первых трех этажах не выйдет ни один) = (8/10)^6 = (4/5)^6 = 0.262144.
б) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на первых шести этажах.
Этажи, на которых могут выйти пассажиры: 2, 3, 4, 5, 6, 7 (6 этажей).
Вероятность того, что один пассажир выйдет на одном из 6 этажей: 6/10.
Вероятность того, что все 6 пассажиров выйдут на этажах 2-7:
P(все на первых шести) = (6/10)^6 = (3/5)^6 = 0.243.
г) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже.
Количество этажей: 10.
Вероятность того, что все 6 пассажиров выйдут на одном этаже:
P(все на одном этаже) = 10 * (1/10)^6 = 10 / 1000000 = 0.00001.
д) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах.
Количество способов выбрать 6 разных этажей из 10: C(10, 6) = 210.
Количество способов распределить 6 пассажиров по 6 этажам: 6! = 720.
Общее количество способов выхода пассажиров: 10^6.
P(все на разных этажах) = (C(10, 6) * 6!) / 10^6 = (210 * 720) / 1000000 = 0.1512.
е) Вероятность того, что на каждом этаже, где будет останавливаться лифт, выйдут по два пассажира.
Количество способов выбрать 5 этажей из 10, где выйдут пассажиры: C(10, 5).
Количество способов распределить 6 пассажиров по 5 этажам (по 2 на каждом): 6! / (2!^5) = 15.
Общее количество способов выхода пассажиров: 10^6.
P(по два пассажира на каждом этаже) = (C(10, 5) * (6! / (2!^5))) / 10^6 = (252 * 15) / 1000000 = 0.00378.
Ответ:
а) Вероятность того, что на первых трех этажах не выйдет ни один из пассажиров, составляет 0.262144.
б) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на первых шести этажах, составляет 0.243.
г) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже, составляет 0.00001.
д) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах, составляет 0.1512.
е) Вероятность того, что на каждом этаже, где будет останавливаться лифт, выйдут по два пассажира, составляет 0.00378.