Дано:
Шесть травинок, зажатых в руке. Каждый конец травинки может соединиться с другим концом, образуя пары.
Найти:
Вероятность того, что все 6 травинок свяжутся в одно кольцо.
Решение:
Обозначим травинки как T1, T2, T3, T4, T5, T6.
1. Общее количество способов разбить верхние и нижние концы травинок на пары.
Для верхних концов травинок количество способов разбить 6 травинок на пары (сначала верхние концы) определяется как:
N(6) = (6!)/(2^3 * 3!) = 15.
Здесь 6! — это перестановка всех концов, 2^3 — это количество перестановок внутри каждой пары (поскольку у каждой пары есть 2 конца), и 3! — это количество способов перестановить 3 пары.
Аналогично, для нижних концов травинок также N(6) = 15.
Таким образом, общее количество способов разбить верхние и нижние концы на пары будет:
N(всего) = N(верхние) * N(нижние) = 15 * 15 = 225.
2. Количество благоприятных исходов (связанных в одно кольцо).
Связать 6 травинок в одно кольцо возможно лишь одним способом, когда все травинки соединяются так, что образуют одно кольцо. При этом для каждой травинки существует 1 способ соединения с другой травинкой, что можно изобразить так:
T1 - T2 - T3 - T4 - T5 - T6 - T1.
Таким образом, количество способов связать 6 травинок в одно кольцо равно 1.
3. Вероятность того, что все 6 травинок свяжутся в одно кольцо.
Вероятность P будет равна количеству благоприятных исходов, деленному на общее количество исходов:
P = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов) = 1 / 225.
Ответ:
Вероятность того, что все 6 травинок свяжутся в одно кольцо, равна 1 / 225.