Дано:
Количество травинок: 2n.
Количество верхних и нижних концов травинок: 2n.
Найти:
Математическое ожидание числа получившихся колец.
Решение:
Пусть X - количество получившихся колец после связывания верхних и нижних концов травинок. Мы можем рассмотреть процесс образования колец как процесс формирования случайных пар.
1. Каждую из 2n травинок можно представить как две точки, одну на верхнем конце и одну на нижнем. Таким образом, у нас есть 2n верхних концов и 2n нижних концов.
2. При связывании концов травинок в пары у нас образуются "связи" между верхними и нижними концами, что может привести к образованию колец.
Для нахождения математического ожидания E(X) воспользуемся тем фактом, что вероятность образования кольца зависит от того, как происходит связывание концов.
3. Рассмотрим случайное образование пар верхних концов. Если i-ое травинка связывается с j-ым травинкой, это создаст цикл, если эти травинки соединены между собой. Образование колец также будет зависеть от расположения концов нижних травинок.
4. Для n травинок количество возможных спариваний верхних концов можно выразить через факториалы:
(2n)! / (2^n * n!). Это количество способов разбить 2n концов на n пар.
5. Аналогично, для нижних концов будет то же самое количество спариваний.
6. Математическое ожидание количества колец можно рассчитать по формуле:
E(X) = сумма от k=1 до n (k * P(количество колец = k)).
7. Известно, что для большого n среднее число колец, образующихся из n пар, приближается к 1.
Таким образом, мы можем использовать результаты теории вероятностей о том, что E(X) для n травинок стремится к 1 при увеличении n.
Ответ: Математическое ожидание числа получившихся колец равно 1.