Дано:
Общее количество вопросов в тесте: N = 10.
Количество вопросов, которые знает Артём: K = 5 (половина от N).
Количество вопросов, выбираемых компьютером: M = 3.
Найти:
Вероятность того, что Артём ответит на все три вопроса.
Решение:
1. Сначала рассмотрим случай выбора вопросов с возвращением. В этом случае компьютер может выбирать вопросы несколько раз, и для каждого из трёх вопросов выбор будет происходить независимо.
Вероятность того, что выбранный вопрос известен Артёму: P(знает) = K/N = 5/10 = 1/2.
Так как выбор каждого вопроса независим, то вероятность того, что Артём знает все три вопроса будет:
P(все 3 знают) = P(знает) * P(знает) * P(знает) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = (1/2)^3 = 1/8.
2. Теперь рассмотрим случай выбора вопросов без возвращения. В этом случае компьютер выбирает три разных вопроса.
Для того чтобы Артём ответил на все три вопроса, все три выбранных вопроса должны быть из тех, которые он знает.
Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 10: C(N, M) = C(10, 3) = 10! / (3!(10 - 3)!) = 120.
Количество способов выбрать 3 вопроса из 5 известных Артёму: C(K, M) = C(5, 3) = 5! / (3!(5 - 3)!) = 10.
Теперь найдем вероятность того, что все три вопроса, выбранные компьютером, известны Артёму:
P(все 3 знают) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = C(5, 3) / C(10, 3) = 10 / 120 = 1/12.
Ответ:
1. Вероятность того, что Артём ответит на все три вопроса при выборе с возвращением составляет 1/8.
2. Вероятность того, что Артём ответит на все три вопроса при выборе без возвращения составляет 1/12.
Следовательно, шансы Артёма ответить на все три вопроса выше, когда компьютер выбирает вопросы с возвращением (1/8 против 1/12).