Дано:
Общее количество вопросов в тесте: N = 10.
Количество вопросов, которые знает Артём: K = k (где k — число, заданное в условии).
Количество вопросов, выбираемых компьютером: M = 3.
Найти:
Вероятность того, что Артём ответит на все три вопроса.
Решение:
1. Рассмотрим случай выбора вопросов с возвращением.
Вероятность того, что выбранный вопрос известен Артёму:
P(знает) = K / N = k / 10.
Так как выбор каждого вопроса независим, то вероятность того, что Артём знает все три вопроса будет:
P(все 3 знают) = P(знает) * P(знает) * P(знает) = (k / 10) * (k / 10) * (k / 10) = (k / 10)^3 = k^3 / 1000.
2. Теперь рассмотрим случай выбора вопросов без возвращения.
Для того чтобы Артём ответил на все три вопроса, все три выбранных вопроса должны быть из тех, которые он знает.
Общее количество способов выбрать 3 вопроса из 10:
C(N, M) = C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120.
Количество способов выбрать 3 вопроса из k известных Артёму:
C(K, M) = C(k, 3) = k! / (3! * (k - 3)!) (при условии, что k >= 3, иначе C(k, 3) = 0).
Теперь найдем вероятность того, что все три вопроса, выбранные компьютером, известны Артёму:
P(все 3 знают) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = C(k, 3) / C(10, 3).
Если k >= 3, то:
P(все 3 знают) = C(k, 3) / C(10, 3) = (k! / (3! * (k - 3)!)) / 120 = (k * (k - 1) * (k - 2)) / (120 * 6) = k * (k - 1) * (k - 2) / 720.
Если k < 3, то вероятность будет равна 0, так как Артём не сможет ответить на все три вопроса.
Ответ:
1. Вероятность того, что Артём ответит на все три вопроса при выборе с возвращением составляет k^3 / 1000.
2. Вероятность того, что Артём ответит на все три вопроса при выборе без возвращения составляет k * (k - 1) * (k - 2) / 720 (если k >= 3) или 0 (если k < 3).