Дано:
- Количество человек в очереди: 2n
- Количество человек с 50-рублёвыми купюрами: n
- Количество человек с 100-рублёвыми купюрами: n
- Стоимость билета: 50 рублей
- В начале в кассе нет денег
Найти:
- Вероятность того, что каждый покупатель не будет ждать сдачу.
Решение:
Для того чтобы ни один из покупателей, имеющих 100-рублёвую купюру, не ждал сдачу, необходимо, чтобы перед ним в очереди оказался хотя бы один покупатель с 50-рублёвой купюрой. Это условие гарантирует, что в кассе уже будет достаточно денег для выдачи сдачи.
Обозначим события:
- A: событие, что каждый покупатель с 100-рублёвыми купюрами не будет ждать сдачу.
Каждый покупатель с 50-рублёвыми купюрами может пройти к кассе, не вызывая необходимости в сдаче. Чтобы удовлетворить условия, мы должны расположить n покупателей с 50-рублёвыми купюрами так, чтобы они предшествовали всем покупателям с 100-рублёвыми купюрами.
Общее количество способов расположить 2n человек в очереди:
C(2n, n) = (2n)! / (n! * n!)
Здесь C(2n, n) — это биномиальный коэффициент, показывающий количество способов выбрать n позиций из 2n.
Теперь, чтобы удовлетворить условию A, нужно, чтобы все n покупателей с 100-рублёвыми купюрами стояли за хотя бы одним покупателем с 50-рублёвой купюрой. Это можно рассматривать как расположение n покупателей с 50-рублёвыми купюрами и n покупателей с 100-рублёвыми купюрами так, чтобы ни один из покупателей с 100-рублёвыми купюрами не стоял на первой позиции в очереди, т.е. он не может быть первым в очереди после того, как все 50-рублёвые покупатели ушли.
Число благоприятных исходов для события A:
1. Мы можем представить 50-рублёвые купюры как точки, которые формируют "границы" между покупателями с 100-рублёвыми купюрами.
2. Если мы разместим n покупателей с 50-рублёвыми купюрами, между ними будет n+1 возможных мест для 100-рублёвых купюров. Чтобы каждый 100-рублёвый покупатель оказался после хотя бы одного 50-рублёвого, 100-рублёвые купюры могут занять только n мест из n+1.
Итак, число благоприятных исходов:
C(2n-1, n) = (2n-1)! / (n! * (n-1)!)
Теперь вероятность P(A) того, что каждый покупатель с 100-рублёвыми купюрами не будет ждать сдачу:
P(A) = Число благоприятных исходов / Общее количество способов расположить 2n человек
P(A) = C(2n-1, n) / C(2n, n)
Подставляя значения:
P(A) = (2n-1)! / (n! * (n-1)!) / [(2n)! / (n! * n!)]
P(A) = (2n-1)! * (n! * n!) / ((n! * (n-1)!) * (2n)!)
Сокращая:
P(A) = n / (2n)
Ответ:
Вероятность того, что каждый покупатель не будет ждать сдачу, равна 1/2.