Дано:
Биатлонист должен поразить 3 мишени, имея 5 выстрелов. На каждый выстрел он тратит 8 секунд и попадает в цель с вероятностью p = 0.6. Случайная величина T – общее время, которое он проведет на огневом рубеже.
Найти:
Распределение вероятностей случайной величины T.
Решение:
Для того чтобы достичь цели (поразить 3 мишени), биатлонист может совершать неуспешные и успешные выстрелы. Неуспешный выстрел происходит с вероятностью q = 1 - p = 0.4.
Число выстрелов, необходимых для поражения 3 мишеней, можно описать с помощью отрицательного биномиального распределения, где нужно получить k успехов (в данном случае k = 3) при постоянных вероятностях успеха p и неуспеха q.
Сначала определим, сколько выстрелов может понадобиться – обозначим это число как n. Максимальное количество выстрелов равно 5, но нам необходимо учитывать все возможные варианты, когда биатлонист может попасть в 3 мишени:
1. Для случая, когда три мишени поражены с 3 выстрелами:
- Событие: 3 успешных выстрела и 0 неуспешных.
- Вероятность: P(T = 3 * 8) = (0.6)^3 * (0.4)^0 = 0.216
- Время: T = 24 секунд.
2. Для случая, когда три мишени поражены с 4 выстрелами:
- Событие: 3 успешных выстрела и 1 неуспешный.
- Возможные комбинации: C(4, 1) = 4 (выбор одного неуспешного из 4).
- Вероятность: P(T = 4 * 8) = C(4, 1) * (0.6)^3 * (0.4)^1 = 4 * 0.216 * 0.4 = 0.3456
- Время: T = 32 секунды.
3. Для случая, когда три мишени поражены с 5 выстрелами:
- Событие: 3 успешных выстрела и 2 неуспешных.
- Возможные комбинации: C(5, 2) = 10 (выбор двух неуспешных из 5).
- Вероятность: P(T = 5 * 8) = C(5, 2) * (0.6)^3 * (0.4)^2 = 10 * 0.216 * 0.16 = 0.3456
- Время: T = 40 секунд.
Теперь подведем итоги по вероятностям и соответствующим временам:
- P(T = 24) = 0.216
- P(T = 32) = 0.3456
- P(T = 40) = 0.3456
Ответ:
Распределение вероятностей случайной величины T представлено следующими значениями:
P(T = 24) = 0.216, P(T = 32) = 0.3456, P(T = 40) = 0.3456.