дано:
Количество кубиков n, каждый из которых имеет 6 граней с числами от 1 до 6.
найти:
Математическое ожидание случайной величины M, равной наибольшему из выпавших чисел при броске n кубиков.
решение:
Сначала определим вероятность того, что наибольшее число M равно k, где k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Вероятность того, что наибольшее число равно k, можно записать следующим образом:
P(M = k) = P(на всех кубиках выпало число меньше или равно k) - P(на всех кубиках выпало число меньше или равно (k-1)).
Для любого k, вероятность того, что на каждом из n кубиков выпало число меньше или равно k, равна (k/6)^n. То есть:
P(на всех кубиках выпало число меньше или равно k) = (k/6)^n.
Таким образом:
P(M = k) = (k/6)^n - ((k-1)/6)^n.
Теперь мы можем найти математическое ожидание E(M):
E(M) = сумма(k=1, 2, ..., 6) k * P(M = k).
Подставляем найденное выражение для вероятностей:
E(M) = сумма(k=1 до 6) k * [(k/6)^n - ((k-1)/6)^n].
Теперь вычислим эту сумму:
E(M) = 1 * [(1/6)^n - (0/6)^n] + 2 * [(2/6)^n - (1/6)^n] + 3 * [(3/6)^n - (2/6)^n] + 4 * [(4/6)^n - (3/6)^n] + 5 * [(5/6)^n - (4/6)^n] + 6 * [(6/6)^n - (5/6)^n].
Это упростится в:
E(M) = 1 * (1/6)^n + 2 * (2/6)^n - 2 * (1/6)^n + 3 * (3/6)^n - 3 * (2/6)^n + 4 * (4/6)^n - 4 * (3/6)^n + 5 * (5/6)^n - 5 * (4/6)^n + 6 * (1) - 6 * (5/6)^n.
Соберем все подобные члены:
E(M) = 6 - 5 * (5/6)^n - 4 * (4/6)^n - 3 * (3/6)^n - 2 * (2/6)^n - 1 * (1/6)^n.
Теперь подставим конкретные значения n и посчитаем результат для них, если необходимо.
ответ:
Математическое ожидание M составляет 6 - 5 * (5/6)^n - 4 * (4/6)^n - 3 * (3/6)^n - 2 * (2/6)^n - 1 * (1/6)^n.