дано:
Количество юношей n = 10 и количество девушек m = 10. Весь состав из 20 человек случайным образом садится за круглый стол.
найти:
Математическое ожидание числа счастливых юношей, где юноша считается счастливым, если хотя бы одна девушка сидит рядом с ним.
решение:
Обозначим случайную величину Y как количество счастливых юношей. Мы можем представить Y как сумму n случайных величин Y1, Y2, ..., Yn, где Yi = 1, если i-й юноша счастлив, и Yi = 0 в противном случае.
Таким образом:
Y = Y1 + Y2 + ... + Yn.
Теперь найдем математическое ожидание E(Y):
E(Y) = E(Y1) + E(Y2) + ... + E(Yn).
Сначала найдем E(Yi) для любого i. Юноша будет несчастлив, если рядом с ним сидят оба соседа — юноши. Поскольку у нас всего 20 мест, вероятность того, что сосед слева и сосед справа будут юношами равна:
Вероятность P(Юноша несчастлив) = (количество способов выбрать 2 юношей из 9)/(количество способов выбрать 2 места из 19) = (9/19)*(8/18) = 72/342 = 12/57.
Следовательно, вероятность того, что i-й юноша счастлив:
P(Юноша счастлив) = 1 - P(Юноша несчастлив) = 1 - 12/57 = 45/57.
Теперь подставим значение E(Yi):
E(Yi) = P(Юноша счастлив) = 45/57.
Теперь подставим это значение в выражение для E(Y):
E(Y) = E(Y1) + E(Y2) + ... + E(Yn) = n * E(Yi) = 10 * (45/57) = 450/57 ≈ 7.89.
ответ:
Математическое ожидание числа счастливых юношей составляет примерно 7.89.