дано:
Количество человек N. Размер группы k, где N делится на k. Вероятность обнаружения вируса в крови любого человека равна p.
найти:
Ожидаемое число тестов при предложенной схеме тестирования и выяснить, будет ли оно меньше N.
решение:
1. Сначала проводим групповой тест для каждой из N/k групп по k человек. Общее количество групп равно G = N/k.
2. Для каждой группы вероятность того, что тест будет положительным (то есть хотя бы один человек в группе болен) можно определить следующим образом. Сначала найдем вероятность того, что все k человек здоровы:
P(все здоровы) = (1 - p)^k.
Следовательно, вероятность того, что тест группы положительный:
P(тест положителен) = 1 - P(все здоровы) = 1 - (1 - p)^k.
3. Теперь рассчитываем ожидаемое количество тестов:
- Если test отрицательный (вероятность 1 - (1 - p)^k), то мы провели 1 тест на группу.
- Если test положительный (вероятность (1 - (1 - p)^k), тогда нам нужно провести k дополнительных тестов на отдельных людях в группе.
Таким образом, ожидаемое количество тестов для одной группы:
E(тесты для одной группы) = 1 * P(тест отрицательный) + (1 + k) * P(тест положительный)
= 1 * (1 - (1 - p)^k) + (1 + k) * (1 - (1 - p)^k)
= 1 - (1 - p)^k + (1 + k) * (1 - (1 - p)^k)
= (2 + k)(1 - (1 - p)^k).
4. Общее ожидаемое количество тестов для всех групп:
E(общее количество тестов) = G * E(тесты для одной группы)
= (N/k) * (2 + k)(1 - (1 - p)^k)
= (N * (2 + k)(1 - (1 - p)^k)) / k.
Теперь рассмотрим, будет ли это значение меньше N:
E(общее количество тестов) < N если (2 + k)(1 - (1 - p)^k) < k.
Это не всегда очевидно, поэтому необходимо провести анализ зависимости от p и k. Для малых значений p и большого k, как правило, ожидаемое количество тестов может быть меньше N, но в общем случае это зависит от конкретных значений p и k.
ответ:
Ожидаемое число тестов при предложенной схеме тестирования равно (N * (2 + k)(1 - (1 - p)^k)) / k. Будет ли оно меньше N, зависит от значений p и k, однако при определенных условиях это возможно.