Question

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Answer 1

дано:  
P(заболевание) = вероятность наличия заболевания = x (неизвестно)  
P(тест положительный | заболевание есть) = 0,86  
P(тест положительный | заболевания нет) = 1 - P(тест отрицательный | заболевания нет) = 1 - 0,94 = 0,06  
P(тест положительный) = 0,10  

найти:  
P(заболевание | тест положительный) = вероятность того, что у пациента есть заболевание при положительном результате теста.  

решение:  
Используем формулу Байеса:

P(заболевание | тест положительный) = (P(тест положительный | заболевание есть) * P(заболевание)) / P(тест положительный)

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо выразить P(заболевание). Можно воспользоваться теоремой полной вероятности для вычисления P(тест положительный):

P(тест положительный) = P(тест положительный | заболевание есть) * P(заболевание) + P(тест положительный | заболевания нет) * P(заболевание нет)

Где:
P(заболевание нет) = 1 - P(заболевание) = 1 - x

Подставим известные значения в формулу:

0,10 = 0,86 * x + 0,06 * (1 - x)

Теперь решим это уравнение относительно x:

0,10 = 0,86x + 0,06 - 0,06x  
0,10 - 0,06 = 0,80x  
0,04 = 0,80x  
x = 0,04 / 0,80  
x = 0,05

Теперь, зная вероятность наличия заболевания, подставим ее в формулу для расчета P(заболевание | тест положительный):

P(заболевание | тест положительный) = (0,86 * 0,05) / 0,10  
P(заболевание | тест положительный) = 0,043 / 0,10  
P(заболевание | тест положительный) = 0,43

Ответ:  
Вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание при положительном результате теста составляет 0,43 или 43%.