Дано:
- P(положительный анализ | пироплазмоз) = 0.05 (5% случаев)
- P(положительный анализ | здоровая собака) = 0.02 (2% случаев)
- P(пироплазмоз | положительный анализ) = 0.04 (4% случаев)
Найти:
P(пироплазмоз | положительный анализ).
Решение:
Для решения задачи используем теорему Байеса. Она гласит:
P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)
где:
A — событие, что собака больна пироплазмозом,
B — событие, что анализ положительный.
В нашей задаче:
- P(B | A) = P(положительный анализ | пироплазмоз) = 0.05
- P(B | не A) = P(положительный анализ | здоровая собака) = 0.02
- P(A) = P(пироплазмоз) (неизвестно, нужно найти)
- P(не A) = 1 - P(A)
Сначала найдем P(B) (вероятность положительного анализа). Используем полное вероятностное правило:
P(B) = P(B | A) * P(A) + P(B | не A) * P(не A)
Теперь подставим значения:
P(B) = 0.05 * P(A) + 0.02 * (1 - P(A))
Следующим шагом подставим P(A) в формулу Байеса:
P(A | B) = (0.05 * P(A)) / (0.05 * P(A) + 0.02 * (1 - P(A)))
Теперь можно решить это уравнение. Заменим P(A) на p для простоты:
P(A | B) = (0.05 * p) / (0.05 * p + 0.02 * (1 - p))
Теперь это уравнение можно упростить:
P(A | B) = (0.05 * p) / (0.05 * p + 0.02 - 0.02 * p)
P(A | B) = (0.05 * p) / (0.03 * p + 0.02)
Теперь необходимо подставить значение P(A) (вероятность наличия пироплазмоза) или использовать, если известна. Предположим, что P(A) в общей популяции собак можно считать небольшой, например, 0.01 (1%).
Таким образом, подставляем p = 0.01:
P(A | B) = (0.05 * 0.01) / (0.03 * 0.01 + 0.02)
P(A | B) = 0.0005 / (0.0003 + 0.02)
P(A | B) = 0.0005 / 0.0203
P(A | B) ≈ 0.0246
Ответ: вероятность того, что Робин действительно болен пироплазмозом, составляет примерно 2.46%.