Дано:
Монета, которая имеет два равновероятных исхода: орёл и решка.
Случайная величина Y равна количеству бросков монеты до тех пор, пока не выпадут оба исхода.
Найти:
Дисперсию D(Y) и стандартное отклонение σ(Y).
Вычислить верхнюю границу числа испытаний по правилу «трёх сигм».
Решение:
1. Находим математическое ожидание E(Y):
Количество бросков до появления обоих исходов можно описать как сумму двух случайных величин:
- X1 — количество бросков до первого появления орла.
- X2 — количество бросков после первого орла до появления первой решки.
Обе эти случайные величины распределены по геометрическому закону с параметром p = 0.5.
Математическое ожидание для геометрической случайной величины вычисляется по формуле:
E(X) = 1/p
Для X1 и X2:
E(X1) = 1/(0.5) = 2
E(X2) = 1/(0.5) = 2
Так что общее математическое ожидание будет:
E(Y) = E(X1) + E(X2) = 2 + 2 = 4
2. Находим дисперсию D(Y):
Дисперсия для геометрической случайной величины также вычисляется по формуле:
D(X) = (1-p)/p^2
Для X1 и X2:
D(X1) = (1 - 0.5)/(0.5)^2 = 0.5/(0.25) = 2
D(X2) = (1 - 0.5)/(0.5)^2 = 0.5/(0.25) = 2
Итак, общая дисперсия будет:
D(Y) = D(X1) + D(X2) = 2 + 2 = 4
3. Находим стандартное отклонение σ(Y):
Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии:
σ(Y) = sqrt(D(Y))
σ(Y) = sqrt(4) = 2
4. Вычисляем верхнюю границу числа испытаний по правилу «трёх сигм»:
По правилу «трёх сигм» верхняя граница рассчитывается как:
U = E(Y) + 3*σ(Y)
U = 4 + 3*2 = 4 + 6 = 10
Ответ:
Дисперсия D(Y) = 4
Стандартное отклонение σ(Y) = 2
Верхняя граница числа испытаний по правилу «трёх сигм» U = 10