Дано:
Количество шоколадных яиц, которые подарили Ирине, равно k. Каждое яйцо может содержать одну из n различных фигурок.
Найти:
Математическое ожидание количества различных фигурок, которые можно ожидать получить в k шоколадных яйцах.
Решение:
Обозначим количество различных фигурок как n.
Определим событие получения новой фигурки. Пусть X – количество различных фигурок, которые мы получаем после открытия k яиц. Мы можем рассмотреть математическое ожидание E(X).
Для нахождения математического ожидания воспользуемся следующей логикой:
1. Пусть Ai - это событие, что i-ая фигурка была получена хотя бы один раз.
2. Вероятность того, что i-ая фигурка не будет получена в одном броске, равна (n - 1)/n, так как остается n - 1 фигурок, которые могут быть получены.
3. Следовательно, вероятность того, что i-ая фигурка не будет получена за k бросков, равна ((n - 1)/n)^k.
4. Таким образом, вероятность того, что i-ая фигурка будет получена хотя бы один раз, равна:
P(Ai) = 1 - ((n - 1)/n)^k.
Теперь можно найти математическое ожидание E(X):
E(X) = n * P(Ai) = n * (1 - ((n - 1)/n)^k).
Таким образом, подставив P(Ai):
E(X) = n * (1 - ((n - 1)/n)^k).
Это выражение дает нам среднее количество различных фигурок, которое можно ожидать при открытии k яиц.
Ответ: Математическое ожидание количества различных фигурок составляет n * (1 - ((n - 1)/n)^k).