дано: X1, X2, ..., Xn - случайные величины с математическим ожиданием a.
найти: E(X), где X - среднее арифметическое случайных величин.
Решение:
Среднее арифметическое случайных величин X определяется как:
X = (X1 + X2 + ... + Xn) / n.
Теперь найдем математическое ожидание среднего арифметического E(X):
E(X) = E((X1 + X2 + ... + Xn) / n).
Используем линейность математического ожидания:
E(X) = (1/n) * E(X1 + X2 + ... + Xn).
По свойству математического ожидания сумма случайных величин равна сумме их математических ожиданий:
E(X) = (1/n) * (E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)).
Так как E(Xi) = a для всех i, то:
E(X) = (1/n) * (a + a + ... + a) = (1/n) * (n * a) = a.
ответ: Математическое ожидание среднего арифметического X равно a.