дано: X1, X2, ..., Xs - независимые случайные величины с дисперсией d.
найти: D(X), где X - среднее арифметическое случайных величин.
Решение:
Среднее арифметическое случайных величин X определяется как:
X = (X1 + X2 + ... + Xs) / s.
Теперь найдем дисперсию среднего арифметического D(X):
D(X) = D((X1 + X2 + ... + Xs) / s).
Используем свойство дисперсии, что дисперсия произведения константы и случайной величины равна квадрату этой константы, умноженному на дисперсию случайной величины:
D(X) = (1/s^2) * D(X1 + X2 + ... + Xs).
Так как случайные величины независимы, дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
D(X) = (1/s^2) * (D(X1) + D(X2) + ... + D(Xs)).
Поскольку дисперсия каждой случайной величины равна d, то:
D(X) = (1/s^2) * (d + d + ... + d) = (1/s^2) * (s * d).
Упрощаем:
D(X) = (s * d) / s^2 = d / s.
ответ: Дисперсия среднего арифметического X равна d / s.