дано: Доля деталей отличного качества p = 0,8. Общее количество деталей n = 1000. Вероятность P = 0,9.
найти: Пределы, в которых с вероятностью 0,9 будет находиться число деталей отличного качества.
Решение:
Сначала найдем среднее значение и стандартное отклонение числа деталей отличного качества. Пусть X - число деталей отличного качества. Тогда X распределена по биномиальному закону с параметрами n и p:
X ~ Binomial(n, p).
Среднее значение (мю) равно:
мю = n * p = 1000 * 0,8 = 800.
Стандартное отклонение (сигма) можно вычислить по формуле:
сигма = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(1000 * 0,8 * 0,2).
Теперь считаем:
сигма = sqrt(1000 * 0,8 * 0,2) = sqrt(160) ≈ 12,65.
Для больших n можем использовать нормальное приближение:
X ≈ N(мю, сигма^2), где мю = 800 и сигма ≈ 12,65.
Чтобы найти пределы для X с вероятностью 0,9, воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения. Для P(Z < z) = 0,95 (поскольку мы ищем пределы вокруг среднего значения, то оставляем 5% в двух хвостах) значение z примерно равно 1,645.
Теперь находим пределы:
Нижний предел:
Lower limit = мю - z * сигма = 800 - 1,645 * 12,65 ≈ 800 - 20,8 ≈ 779,2.
Верхний предел:
Upper limit = мю + z * сигма = 800 + 1,645 * 12,65 ≈ 800 + 20,8 ≈ 820,8.
Поскольку мы ищем целое количество деталей, округлим пределы:
Нижний предел ≈ 779,
Верхний предел ≈ 821.
Ответ: С вероятностью 0,9 число деталей отличного качества будет находиться в пределах от 779 до 821.