дано:
1) Объем выборки n = 100 (всего бросков).
2) Количество выпадений орла k = 30.
3) Вероятность выпадения орла для симметричной монеты p0 = 0.5.
найти: Проверить гипотезу о том, что монета симметрична (H0: p = 0.5) против альтернативной гипотезы (H1: p ≠ 0.5) на уровнях значимости 0.1; 0.05; 0.005.
решение:
1) Рассчитаем статистику теста Z. Для этого используем формулу для оценки пропорции:
p̂ = k / n = 30 / 100 = 0.3
Стандартная ошибка (SE) пропорции рассчитывается по формуле:
SE = √(p0 * (1 - p0) / n)
SE = √(0.5 * (1 - 0.5) / 100)
SE = √(0.5 * 0.5 / 100)
SE = √(0.25 / 100)
SE = √0.0025
SE = 0.05
Теперь рассчитываем Z:
Z = (p̂ - p0) / SE
Z = (0.3 - 0.5) / 0.05
Z = -0.2 / 0.05
Z = -4
2) Теперь найдем критические значения для различных уровней значимости. Поскольку это двусторонний тест, нужно учитывать оба хвоста распределения:
- Для α = 0.1: критические значения Z ≈ ±1.645.
- Для α = 0.05: критические значения Z ≈ ±1.96.
- Для α = 0.005: критические значения Z ≈ ±2.576.
3) Сравним полученное значение Z с критическими значениями:
Z = -4 < -1.645 (для α = 0.1) → отвергаем H0.
Z = -4 < -1.96 (для α = 0.05) → отвергаем H0.
Z = -4 < -2.576 (для α = 0.005) → отвергаем H0.
ответ: На всех уровнях значимости (0.1, 0.05, 0.005) мы отвергаем нулевую гипотезу о симметрии монеты. Это свидетельствует о том, что монета не является симметричной.