Question

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4. При испытании новой вакцины была набрана группа из 200 добровольцев, которым ввели эту вакцину. Из них 40 человек заболели гриппом. Можно ли считать новую вакцину более эффективной, чем созданные ранее? Сделайте свой вывод на уровне значимости 0,05.

Answer 1

дано:  
1) Вероятность заболевания гриппом без вакцины p0 = 0.4.  
2) Объем выборки n = 200 (добровольцы, получившие вакцину).  
3) Количество заболевших k = 40.  
4) Пропорция заболевших в группе с вакциной p̂ = k / n = 40 / 200 = 0.2.  

найти: Проверить гипотезу о том, что новая вакцина более эффективна, чем созданные ранее (H0: p = 0.4 против H1: p < 0.4) на уровне значимости 0.05.

решение:

1) Рассчитаем стандартную ошибку (SE) для пропорции:

SE = √(p0 * (1 - p0) / n)
SE = √(0.4 * (1 - 0.4) / 200)
SE = √(0.4 * 0.6 / 200)
SE = √(0.24 / 200)
SE = √0.0012
SE ≈ 0.03464

2) Рассчитаем статистику теста Z:

Z = (p̂ - p0) / SE
Z = (0.2 - 0.4) / 0.03464
Z = -0.2 / 0.03464
Z ≈ -5.78

3) Найдем критическое значение для уровня значимости α = 0.05. Поскольку это односторонний тест, критическое значение Z для α = 0.05 составляет примерно -1.645.

4) Сравним полученное значение Z с критическим значением:

Z = -5.78 < -1.645 → отвергаем H0.

ответ: На уровне значимости 0.05 мы отвергаем нулевую гипотезу о том, что новая вакцина не более эффективна. Следовательно, можно считать, что новая вакцина более эффективна, чем созданные ранее.