Question

Соня утверждает, что в этом году она стала лучше заниматься по алгебре. До этого её средний балл составлял 3,8 со стандартным отклонением 0,5. В этом полугодии она уже получила 20 отметок, среднее арифметическое которых равно 4,1. На каком минимальном уровне значимости можно согласиться с Соней?

Answer 1

Дано:  
Средний балл до этого (mu0) = 3,8  
Стандартное отклонение (sigma) = 0,5  
Количество отметок (n) = 20  
Средний балл в этом полугодии (x_bar) = 4,1  

Найти:  
Минимальный уровень значимости, при котором можно согласиться с утверждением Сони.

Решение:  
1. Формулировка гипотез:  
   Нулевая гипотеза (H0): mu = 3,8  
   Альтернативная гипотеза (H1): mu > 3,8  

2. Расчет Z-статистики:  
   Z = (x_bar - mu0) / (sigma / sqrt(n))  
   Z = (4,1 - 3,8) / (0,5 / sqrt(20))  
   Z = 0,3 / (0,5 / 4,472)  
   Z = 0,3 / 0,1122 ≈ 2,67  

3. Критические значения Z для одностороннего теста:  
   Для уровня значимости α = 0,05: Z критическое ≈ 1,645  
   Для уровня значимости α = 0,01: Z критическое ≈ 2,33  

4. Сравнение Z-статистики с критическими значениями:  
   Z = 2,67 > 2,33 (для α = 0,01)  
   Z = 2,67 > 1,645 (для α = 0,05)  

Ответ:  
Можно согласиться с утверждением Сони на уровне значимости α = 0,01, так как Z-статистика превышает критическое значение для этого уровня.