дано:
- Среднее время бесперебойной работы насоса составляет 30 суток.
найти:
а) Вероятность того, что за 10 суток не будет ни одной поломки.
б) Вероятность того, что за 10 суток будет меньше двух поломок.
в) Вероятность того, что за 10 суток будет более трех поломок.
решение:
В данном случае мы имеем дело с пуассоновским процессом. Интенсивность поломок (λ) можно определить как обратную среднюю продолжительность безотказной работы:
λ = 1/30 поломок в сутки.
Теперь рассчитываем λ за 10 суток:
λ_10 = (1/30) * 10 = 1/3 ≈ 0.3333 поломок.
а) Вероятность того, что за 10 суток не будет ни одной поломки (k=0):
P(X=0) = (e^(-λ_10) * λ_10^0) / 0!
= e^(-1/3) * 1 / 1
= e^(-1/3) ≈ 0.7165.
б) Вероятность того, что за 10 суток будет меньше двух поломок (k=0 и k=1):
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1).
Сначала найдем P(X=1):
P(X=1) = (e^(-λ_10) * λ_10^1) / 1!
= e^(-1/3) * (1/3)
≈ 0.7165 * 0.3333 ≈ 0.2388.
Теперь подставим в формулу:
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
= e^(-1/3) + e^(-1/3) * (1/3)
≈ 0.7165 + 0.2388
≈ 0.9553.
в) Вероятность того, что за 10 суток будет более трех поломок:
P(X>3) = 1 - P(X≤3).
Сначала найдём P(X≤3):
P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3).
Значение P(X=2) и P(X=3):
P(X=2) = (e^(-λ_10) * λ_10^2) / 2!
= e^(-1/3) * (1/3)^2 / 2
≈ 0.7165 * 0.1111 * 0.5 ≈ 0.0399.
P(X=3) = (e^(-λ_10) * λ_10^3) / 3!
= e^(-1/3) * (1/3)^3 / 6
≈ 0.7165 * 0.0370 * 0.1667 ≈ 0.0044.
Теперь подставим в P(X≤3):
P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
≈ 0.7165 + 0.2388 + 0.0399 + 0.0044
≈ 0.9996.
Теперь вычислим вероятность P(X>3):
P(X>3) = 1 - P(X≤3)
≈ 1 - 0.9996
≈ 0.0004.
ответ:
а) Вероятность того, что за 10 суток не будет ни одной поломки: P(X=0) ≈ 0.7165.
б) Вероятность того, что за 10 суток будет меньше двух поломок: P(X<2) ≈ 0.9553.
в) Вероятность того, что за 10 суток будет более трех поломок: P(X>3) ≈ 0.0004.