дано:
- Среднее время обслуживания: μ = 60 мин
- Стандартное отклонение: σ = 10 мин
найти:
а) Вероятность того, что очередной автомобиль будут обслуживать больше 65 мин.
б) Вероятность того, что время обслуживания очередного автомобиля будет заключено между 50 и 70 мин.
в) Наименьший интервал времени, в который укладываются 50% всех обслуживаемых автомобилей.
решение:
Поскольку время обслуживания имеет нормальное распределение, используем стандартную нормальную модель Z для вычислений. Показатель Z рассчитывается по формуле:
Z = (X - μ) / σ,
где X - значение, для которого мы хотим найти вероятность.
а) Найдем вероятность того, что очередной автомобиль будут обслуживать больше 65 мин (P(X > 65)):
Сначала находим Z для X = 65:
Z_65 = (65 - 60) / 10 = 0.5.
Теперь ищем P(Z > 0.5). Используя таблицу стандартного нормального распределения или функцию, получаем:
P(Z < 0.5) ≈ 0.6915.
Поэтому:
P(Z > 0.5) = 1 - P(Z < 0.5) ≈ 1 - 0.6915 = 0.3085.
б) Найдем вероятность того, что время обслуживания будет между 50 и 70 мин (P(50 < X < 70)):
Сначала находим Z для X = 50:
Z_50 = (50 - 60) / 10 = -1.
Теперь находим Z для X = 70:
Z_70 = (70 - 60) / 10 = 1.
Теперь ищем P(-1 < Z < 1):
P(Z < 1) ≈ 0.8413,
P(Z < -1) ≈ 0.1587.
Следовательно:
P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) ≈ 0.8413 - 0.1587 = 0.6826.
в) Найдем наименьший интервал времени, в который укладываются 50% всех обслуживаемых автомобилей. Этот интервал соответствует зоне между нижним и верхним процентилями. Мы ищем значения Z, которые соответствуют 25 и 75 процентилям (так как 50% — это средний интервал).
Согласно таблице стандартного нормального распределения:
Z_25 ≈ -0.6745,
Z_75 ≈ 0.6745.
Теперь используем эти значения Z для вычисления соответствующих значений X:
Для Z_25:
X_25 = μ + Z_25 * σ = 60 + (-0.6745) * 10 ≈ 53.25 мин.
Для Z_75:
X_75 = μ + Z_75 * σ = 60 + (0.6745) * 10 ≈ 66.75 мин.
Таким образом, наименьший интервал времени, в который укладываются 50% всех обслуживаемых автомобилей: [53.25 мин, 66.75 мин].
ответ:
а) Вероятность того, что очередной автомобиль будут обслуживать больше 65 мин: P(X > 65) ≈ 0.3085.
б) Вероятность того, что время обслуживания будет между 50 и 70 мин: P(50 < X < 70) ≈ 0.6826.
в) Наименьший интервал времени, в который укладываются 50% всех обслуживаемых автомобилей: [53.25 мин, 66.75 мин].