Question

Докажите, что для любой константы а и любых случайных величин X, Y, Z:
а)  cov{aX, Y) = cov(Х, aY) = асоv(Х. Y);
б)  cov(Х + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z).

Answer 1

а) Доказательство того, что cov(aX, Y) = cov(X, aY) = a * cov(X, Y):

Дано:
Случайная величина X, Y и константа a.

Найти:
Доказать равенство cov(aX, Y) = cov(X, aY) = a * cov(X, Y).

Решение:
Ковариация определяется как:

cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])].

1. Рассмотрим cov(aX, Y):
cov(aX, Y) = E[(aX - E[aX])(Y - E[Y])].
Так как E[aX] = a * E[X], можно переписать:

cov(aX, Y) = E[(aX - aE[X])(Y - E[Y])]
             = E[a(X - E[X])(Y - E[Y])]
             = a * E[(X - E[X])(Y - E[Y])]
             = a * cov(X, Y).

2. Теперь рассмотрим cov(X, aY):
cov(X, aY) = E[(X - E[X])(aY - E[aY])].
Так как E[aY] = a * E[Y], можно переписать:

cov(X, aY) = E[(X - E[X])(aY - aE[Y])]
            = E[a(X - E[X])(Y - E[Y])]
            = a * E[(X - E[X])(Y - E[Y])]
            = a * cov(X, Y).

Ответ:
cov(aX, Y) = cov(X, aY) = a * cov(X, Y).

б) Доказательство того, что cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z):

Дано:
Случайные величины X, Y и Z.

Найти:
Доказать равенство cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z).

Решение:
Используем определение ковариации:

cov(X + Y, Z) = E[((X + Y) - E[X + Y])(Z - E[Z])].

Так как E[X + Y] = E[X] + E[Y], можно записать:

cov(X + Y, Z) = E[((X + Y) - (E[X] + E[Y]))(Z - E[Z])]
              = E[((X - E[X]) + (Y - E[Y]))(Z - E[Z])].

Раскроем скобки:

cov(X + Y, Z) = E[(X - E[X])(Z - E[Z])] + E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])]
              = cov(X, Z) + cov(Y, Z).

Ответ:
cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z).