Question

Для независимых случайных величин X. Y известны их математические ожидания и дисперсии:
Е{Х) = 3, Е(У) = 5; D(Х) = 2, D(Y) = 4.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z:
a)Z= X+ Y 6)Z= Х-У; в) Z=2X+ 5Y  г) Z=3Х-4Y.

Answer 1

Дано:
Е(X) = 3, Е(Y) = 5; D(X) = 2, D(Y) = 4.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z для следующих выражений:

а) Z = X + Y
б) Z = X - Y
в) Z = 2X + 5Y
г) Z = 3X - 4Y

Решение:

а) Z = X + Y

Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(X + Y) = Е(X) + Е(Y) = 3 + 5 = 8.

Дисперсия:
D(Z) = D(X + Y) = D(X) + D(Y) = 2 + 4 = 6.

Ответ:
Е(Z) = 8, D(Z) = 6.

б) Z = X - Y

Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(X - Y) = Е(X) - Е(Y) = 3 - 5 = -2.

Дисперсия:
D(Z) = D(X - Y) = D(X) + D(Y) = 2 + 4 = 6, так как X и Y независимы.

Ответ:
Е(Z) = -2, D(Z) = 6.

в) Z = 2X + 5Y

Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(2X + 5Y) = 2Е(X) + 5Е(Y) = 2 * 3 + 5 * 5 = 6 + 25 = 31.

Дисперсия:
D(Z) = D(2X + 5Y) = 2^2 * D(X) + 5^2 * D(Y) = 4 * 2 + 25 * 4 = 8 + 100 = 108.

Ответ:
Е(Z) = 31, D(Z) = 108.

г) Z = 3X - 4Y

Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(3X - 4Y) = 3Е(X) - 4Е(Y) = 3 * 3 - 4 * 5 = 9 - 20 = -11.

Дисперсия:
D(Z) = D(3X - 4Y) = 3^2 * D(X) + (-4)^2 * D(Y) = 9 * 2 + 16 * 4 = 18 + 64 = 82.

Ответ:
Е(Z) = -11, D(Z) = 82.