Дано:
Е(X) = -2, Е(Y) = 6; D(X) = 9, D(Y) = 4; cov(X, Y) = 2.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z для следующих выражений:
а) Z = X + Y
б) Z = X - Y
в) Z = 2X + 5Y
г) Z = 3X - AY (примем A = 4 для примера, если нужно другое значение, уточните)
Решение:
а) Z = X + Y
Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(X + Y) = Е(X) + Е(Y) = -2 + 6 = 4.
Дисперсия:
D(Z) = D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2 * cov(X, Y) = 9 + 4 + 2 * 2 = 9 + 4 + 4 = 17.
Ответ:
Е(Z) = 4, D(Z) = 17.
б) Z = X - Y
Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(X - Y) = Е(X) - Е(Y) = -2 - 6 = -8.
Дисперсия:
D(Z) = D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 * cov(X, Y) = 9 + 4 - 2 * 2 = 9 + 4 - 4 = 9.
Ответ:
Е(Z) = -8, D(Z) = 9.
в) Z = 2X + 5Y
Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(2X + 5Y) = 2 * Е(X) + 5 * Е(Y) = 2 * (-2) + 5 * 6 = -4 + 30 = 26.
Дисперсия:
D(Z) = D(2X + 5Y) = 2^2 * D(X) + 5^2 * D(Y) + 2 * 2 * 5 * cov(X, Y) = 4 * 9 + 25 * 4 + 2 * 2 * 5 * 2 = 36 + 100 + 40 = 176.
Ответ:
Е(Z) = 26, D(Z) = 176.
г) Z = 3X - 4Y
Математическое ожидание:
Е(Z) = Е(3X - 4Y) = 3 * Е(X) - 4 * Е(Y) = 3 * (-2) - 4 * 6 = -6 - 24 = -30.
Дисперсия:
D(Z) = D(3X - 4Y) = 3^2 * D(X) + (-4)^2 * D(Y) + 2 * 3 * (-4) * cov(X, Y) = 9 * 9 + 16 * 4 + 2 * 3 * (-4) * 2 = 81 + 64 - 48 = 97.
Ответ:
Е(Z) = -30, D(Z) = 97.