Дано:
Случайные величины X и Y — результаты броска двух независимых кубиков.
Обе величины принимают значения от 1 до 6.
Найти:
Ковариацию и коэффициент корреляции для следующих пар случайных величин:
a) X и Y,
б) X и X + Y,
в) X и X - Y,
г) (X + Y) и (X - Y).
Решение:
Для начала найдем математическое ожидание и дисперсию случайных величин X и Y.
Математическое ожидание:
E(X) = E(Y) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3,5.
Дисперсия:
D(X) = D(Y) = E(X^2) - (E(X))^2.
E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) / 6 = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 = 91 / 6 ≈ 15,17.
D(X) = D(Y) = 15,17 - (3,5)^2 = 15,17 - 12,25 = 2,92.
Поскольку X и Y независимы, ковариация между ними равна нулю:
cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X)E(Y) - E(X)E(Y) = 0.
Теперь рассчитаем ковариацию и коэффициенты корреляции для каждой пары:
a) Cov(X, Y):
cov(X, Y) = 0.
Коэффициент корреляции:
ρ(X, Y) = cov(X, Y) / (σ_X * σ_Y) = 0 / (√(D(X)) * √(D(Y))) = 0.
б) Cov(X, X + Y):
cov(X, X + Y) = cov(X, X) + cov(X, Y) = D(X) + 0 = D(X) = 2,92.
Коэффициент корреляции:
ρ(X, X + Y) = cov(X, X + Y) / (σ_X * σ_(X + Y)).
σ_(X + Y) = √(D(X) + D(Y)) = √(2,92 + 2,92) = √(5,84) ≈ 2,42.
Следовательно:
ρ(X, X + Y) = 2,92 / (√(2,92) * 2,42) ≈ 2,92 / (1,71 * 2,42) ≈ 2,92 / 4,14 ≈ 0,70.
в) Cov(X, X - Y):
cov(X, X - Y) = cov(X, X) - cov(X, Y) = D(X) - 0 = D(X) = 2,92.
Коэффициент корреляции:
ρ(X, X - Y) = cov(X, X - Y) / (σ_X * σ_(X - Y)).
σ_(X - Y) = √(D(X) + D(Y)) = √(2,92 + 2,92) = √(5,84) ≈ 2,42.
Следовательно:
ρ(X, X - Y) = 2,92 / (√(2,92) * 2,42) ≈ 0,70.
г) Cov(X + Y, X - Y):
cov(X + Y, X - Y) = cov(X, X) - cov(X, Y) + cov(Y, X) - cov(Y, Y) = D(X) - 0 - 0 - D(Y) = D(X) - D(Y) = 2,92 - 2,92 = 0.
Коэффициент корреляции:
ρ(X + Y, X - Y) = cov(X + Y, X - Y) / (σ_(X + Y) * σ_(X - Y)).
Как мы вычислили ранее, σ_(X + Y) ≈ 2,42 и σ_(X - Y) также равно 2,42.
Следовательно:
ρ(X + Y, X - Y) = 0 / (2,42 * 2,42) = 0.
Ответ:
a) Cov(X, Y) = 0, ρ(X, Y) = 0;
б) Cov(X, X + Y) = 2,92, ρ(X, X + Y) ≈ 0,70;