Question

В торговом центре установлены два кофейных автомата. Вероятность того, что в первом автомате к концу дня кофе закончится, равна 0,2. То же самое верно и для второго автомата. А вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня:
а)  кофе останется в обоих автоматах;
б)  кофе закончится ровно в одном автомате;
в)  кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Answer 1

Дано:  
Вероятность того, что в первом автомате кофе закончится, P(A) = 0,2.  
Вероятность того, что во втором автомате кофе закончится, P(B) = 0,2.  
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, P(A ∩ B) = 0,12.  

Найти:  
а) Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах.  
б) Вероятность того, что кофе закончится ровно в одном автомате.  
в) Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.  

Решение:  

1. Для начала найдем вероятность того, что кофе останется в первом автомате:  
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,2 = 0,8.  

Аналогично для второго автомата:  
P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8.  

2. Найдем вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах:  
P(A' ∩ B') = P(A') * P(B') = 0,8 * 0,8 = 0,64.  

3. Теперь найдем вероятность того, что кофе закончится ровно в одном автомате:  
P(A ∩ B') + P(A' ∩ B) = P(A) * P(B') + P(A') * P(B).  

Сначала найдем P(A ∩ B'):  
P(A ∩ B') = P(A) * P(B') = 0,2 * 0,8 = 0,16.  

Теперь найдем P(A' ∩ B):  
P(A' ∩ B) = P(A') * P(B) = 0,8 * 0,2 = 0,16.  

Итак,  
P(A ∩ B') + P(A' ∩ B) = 0,16 + 0,16 = 0,32.  

4. Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:  
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,2 + 0,2 - 0,12 = 0,28.  

Ответ:  
а) Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна 0,64.  
б) Вероятность того, что кофе закончится ровно в одном автомате, равна 0,32.  
в) Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,28.