Дано:
Коля и Женя приходят на встречу в интервале времени от 12:00 до 13:00. Каждый из них ждёт 10 минут.
Найти:
Вероятность того, что Коля и Женя встретятся.
Решение:
1. Обозначим время прихода Колю как X, а время прихода Жени как Y. Оба значения равномерно распределены на отрезке [0, 60] минут, где 0 соответствует 12:00, а 60 соответствует 13:00.
2. Время ожидания каждого из них составляет 10 минут. Это значит, что Коля ждёт до X + 10, а Женя до Y + 10.
3. Они встретятся, если время прихода одного из них попадает в интервал ожидания другого:
- Коля ждёт от X до X + 10.
- Женя ждёт от Y до Y + 10.
4. Для того чтобы они встретились, должно выполняться одно из следующих условий:
- X ≤ Y + 10 и Y ≤ X + 10.
5. Графически представим это на координатной плоскости, где ось X – это время прихода Колі, а ось Y – время прихода Жени.
Каждый из них может приходить в пределах квадрата со сторонами 60 минут.
6. Условия, описанные выше, образуют две области на графике:
- X ≤ Y + 10 – это область выше прямой Y = X - 10.
- Y ≤ X + 10 – это область ниже прямой Y = X + 10.
7. Найдём координаты пересечений линий с границами квадрата [0, 60]:
- Прямая Y = X - 10 пересекает ось Y в (0, -10) и ось X в (10, 0).
- Прямая Y = X + 10 пересекает ось Y в (0, 10) и ось X в (50, 60).
8. Площадь интересующей нас области:
- Основной квадрат имеет площадь 60 * 60 = 3600.
- Область, где они не встретятся, образована двумя треугольниками:
- Треугольник ниже Y = X - 10 с вершинами (0, 0), (10, 0), (0, 10).
- Треугольник выше Y = X + 10 с вершинами (50, 60), (60, 60), (60, 50).
9. Площадь первого треугольника:
- S1 = 0.5 * основание * высота = 0.5 * 10 * 10 = 50.
10. Площадь второго треугольника:
- S2 = 0.5 * основание * высота = 0.5 * 10 * 10 = 50.
11. Общая площадь, где они не встретятся:
- Sн = S1 + S2 = 50 + 50 = 100.
12. Площадь области, где они встретятся:
- Sв = Sквадрат - Sн = 3600 - 100 = 3500.
13. Вероятность встречи:
- P = Sв / Sквадрат = 3500 / 3600 = 35/36.
Ответ:
Вероятность того, что Коля и Женя встретятся, равна 35/36 или примерно 0.9722 (97.22%).