На карусели семь лошадок, которых нужно раскрасить. Лошадки не пронумерованы. Имеется 10 разных красок, но красить всех лошадок одним цветом нельзя — скучно. Нужно использовать хотя бы два цвета. Сколько всего существует способов раскраски:
а)  если каждая лошадка должна быть своего цвета;
б) лошадки могут быть покрашены одинаково (но не все!)?
от

1 Ответ

дано:  
- количество лошадок = 7  
- количество красок = 10  

найти:  
количество способов раскраски лошадок с учетом заданных условий.  

решение:  

а) Если каждая лошадка должна быть своего цвета.  
Поскольку все лошадки должны быть разного цвета, а их всего 7, мы можем выбрать 7 различных цветов из 10 и раскрасить лошадок.  
Количество способов выбора 7 цветов из 10:  
C(10, 7) = 10! / (7!(10-7)!) = 10! / (7! * 3!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.  
После выбора 7 цветов, их можно расположить на 7 лошадках разными способами:  
7! = 5040.  
Общее количество раскрасок:  
N(а) = C(10, 7) * 7! = 45 * 5040 = 226800.  

б) Лошадки могут быть покрашены одинаково (но не все).  
Сначала найдем общее количество раскрасок без ограничения:  
Каждая лошадка может быть покрашена в один из 10 цветов, следовательно:  
N(без ограничений) = 10^7.  
Теперь вычтем случаи, когда все лошадки одного цвета.  
Всего 10 случаев (по одному для каждой из 10 красок).  
Количество способов, когда все лошадки одного цвета:  
N(один цвет) = 10.  
Таким образом, количество раскрасок с использованием хотя бы двух цветов:  
N(б) = N(без ограничений) - N(один цвет) = 10^7 - 10 = 10000000 - 10 = 9999990.  

ответ:  
а) 226800;  
б) 9999990.
от